[論文レビュー] Information-Theoretic Lower Bounds on the Storage Cost of Shared Memory Emulation

Viveck R. Cadambe, Zhiying Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Distributed systems and fault tolerance参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非同期でフォールトトレラントな分散システムにおけるアトミック共有メモリのエミュレーションのストレージコストに対する情報理論的下界を確立する。サーバー間のgossipが存在しない場合、総ストレージコストは少なくとも $ 2\frac{N}{N-f+1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $ であり、gossipがある場合の下界は $ 2\frac{N}{N-f+2}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $ である。これは従来の下界を著しく改善し、レプリケーションおよびエラーリングコーディング方式に普遍的に適用可能である。

ABSTRACT

The focus of this paper is to understand storage costs of emulating an atomic shared memory over an asynchronous, distributed message passing system. Previous literature has developed several shared memory emulation algorithms based on replication and erasure coding techniques. In this paper, we present information-theoretic lower bounds on the storage costs incurred by shared memory emulation algorithms. Our storage cost lower bounds are universally applicable, that is, we make no assumption on the structure of the algorithm or the method of encoding the data. We consider an arbitrary algorithm $A$ that implements an atomic multi-writer single-reader (MWSR) shared memory variable whose values come from a finite set $\mathcal{V}$ over a system of $N$ servers connected by point-to-point asynchronous links. We require that in every fair execution of algorithm $A$ where the number of server failures is smaller than a parameter $f$, every operation invoked at a non-failing client terminates. We define the storage cost of a server in algorithm $A$ as the logarithm (to base 2) of number of states it can take on; the total-storage cost of algorithm $A$ is the sum of the storage cost of all servers. Our results are as follows. (i) We show that if algorithm $A$ does not use server gossip, then the total storage cost is lower bounded by $2 \frac{N}{N-f+1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|)$. (ii) The total storage cost is at least $2 \frac{N}{N-f+2} \log_{2}|\mathcal{V}|-o(\log_{2}|\mathcal{V}|)$ even if the algorithm uses server gossip. (iii) We consider algorithms where the write protocol sends information about the value in at most one phase. We show that the total storage cost is at least $ν^* \frac{N}{N-f+ν^*-1} \log_2( |\mathcal{V}|)- o(\log_2(|\mathcal{V}|),$ where $ν^*$ is the minimum of $f+1$ and the number of active write operations of an execution.

研究の動機と目的

• 非同期でフォールトトレラントな分散システムにおけるアトミック共有メモリのエミュレーションのストレージコストに対する普遍的で情報理論的下界を確立すること。
• レプリケーションやエラーリングコーディング、またはサーバーgossipの使用を仮定しないで、ストレージコストを分析すること。
• さまざまな制約、例えば書き込みプロトコルのフェーズ制限を考慮した上で、正しくエミュレーションするための最小ストレージコストを特定すること。
• ストレージコストが既知の上界以下に低下できるかどうかという根本的な未解決問題を解消すること。
• アクティブな書き込み操作の数や N や f などのシステムパラメータを考慮して、従来の下界を拡張すること。

提案手法

• サーバーのストレージコスト（各サーバーの可能な状態数の対数）の下界を導出するために情報理論的分析を用いる。
• 符号理論にインspiredされた証明技法を適用し、実行トレースを構築してvalencyの議論と矛盾に基づく下界を導出する。
• f 個未満のサーバー障害が発生する公平な実行を想定し、非障害のクライアント操作がすべて終了することを保証する。
• 特定の構成がvalent（決定的でない）でなければならないことを示すために、新しい実行拡張の議論を導入し、ストレージコストが低いと仮定した場合に矛盾を導く。
• gossipなし、gossipあり、および値依存通信が最大1フェーズの書き込みプロトコルという3つの異なるアルゴリズムクラスを分析する。
• 弱い正則性と値依存行動の不変性を活用して、一貫して保存可能な異なる値の数の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アトミック共有メモリエミュレーションのストレージコストが $ \frac{N}{N-f}\log_2|\mathcal{V}| $ よりも低くできるか。もし可能なら、どの程度低くできるか？
• RQ2 フォールトトレラント性と非同期性を満たす多書き込み単一読み込み共有メモリをエミュレートするための最小総ストレージコストは何か？
• RQ3 サーバーgossipの有無が、ストレージコストの理論的下界にどのように影響するか？
• RQ4 書き込みプロトコルが値依存通信を最大1フェーズに制限された場合のストレージコスト下界は何か？
• RQ5 複数フェーズにわたって値依存メッセージを送信するアルゴリズム（例えばビザンチン障害を扱うもの）に対しても、下界を一般化できるか？

主な発見

• 最初の下界は、サーバーgossipが存在しない場合、総ストレージコストが少なくとも $ 2\frac{N}{N-f+1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $ であることを示し、これは従来の $ \frac{N}{N-f}\log_2|\mathcal{V}| $ の約2倍である。
• サーバーgossipが存在する場合でも、総ストレージコストは $ 2\frac{N}{N-f+2}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $ で下界に抑えられ、gossipが理論的最小ストレージコストを著しく削減しないことを示している。
• 値依存通信が最大1フェーズの書き込みプロトコルでは、ストレージコストは $ \nu^*\frac{N}{N-f+\nu^*-1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $ で下界に抑えられ、ここで $ \nu^* $ は $ f+1 $ とアクティブな書き込み操作数の最小値である。
• この3番目の下界は、最初の2つよりも著しく大きく、大多数の既存のエラーリングコーディングベースの共有メモリアルゴリズムが達成するストレージコストと一致する。
• 結果は、レプリケーションベースおよびエラーリングコーディングベースの両方のアルゴリズムに普遍的に適用可能であり、通常の単一書き込み単一読み込みシステムを含む。
• 本論文は、複数フェーズにわたって値依存メッセージを送信するアルゴリズムに対しても、下界が依然として成り立つと予想している。ただし、その中で重要な値情報が1フェーズにのみ伝わる場合、例えばビザンチン耐性スキームにおいてはその限りである。