[論文レビュー] Instanton Correction, Wall Crossing And Mirror Symmetry Of Hitchin's Moduli Spaces

Wenxuan Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 50被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、ヒチンのモジュライ空間における2つのインスタントン補正問題の深い等価性を確立する：ホッパークレルゲー計量への補正（フォック＝ゴンチャロフ座標と2次微分形式のfoliationを用いて）と、複素構造への補正（グロス＝シーベルトの対数Gromov-Witten理論を用いて）である。主な結果は、コンツェビッチとソイベルマンのウォールクロッシング公式が、両問題を統一することであり、幾何的ラングランズを超えるヒチンモジュライ空間における非自明なミラー対称性の主張を提供する。

ABSTRACT

We study two instanton correction problems of Hitchin's moduli spaces along with their wall crossing formulas. The hyperkahler metric of a Hitchin's moduli space can be put into an instanton-corrected form according to physicists Gaiotto, Moore and Neitzke. The problem boils down to the construction of a set of special coordinates which can be constructed as Fock-Goncharov coordinates associated with foliations of quadratic differentials on a Riemann surface. A wall crossing formula of Kontsevich and Soibelman arises both as a crucial consistency condition and an effective computational tool. On the other hand Gross and Siebert have succeeded in determining instanton corrections of complex structures of Calabi-Yau varieties in the context of mirror symmetry from a singular affine structure with additional data. We will show that the two instanton correction problems are equivalent in an appropriate sense via the identification of the wall crossing formulas in the metric problem with consistency conditions in the complex structure problem. This result provides examples of Calabi-Yau varieties where the instanton correction (in the sense of mirror symmetry) of metrics and complex structures can be determined.

研究の動機と目的

• 2次微分形式のfoliationから導かれる特別な座標を用いて、ヒチンのモジュライ空間のハイパーケーラー計量へのインスタントン補正を理解すること。
• グロス＝シーベルトの対数Gromov-Witten理論を用いて、カラビ＝ヤウ多様体の複素構造へのインスタントン補正を分析すること。
• ヒチンのモジュライ空間における2つのインスタントン補正問題の明確な数学的等価性を確立すること。
• コンツェビッチとソイベルマンのウォールクロッシング公式が、両問題の間で一貫性条件および計算的道具として機能することを示すこと。
• 計量と複素構造の両方のインスタントン補正が完全に決定される明示的な例を提示し、ミラー対称性における新しいカラビ＝ヤウ多様体の例を提供すること。

提案手法

• リーマン面上の2次微分形式からのfoliationを用いて、ヒチンのモジュライ空間上にフォック＝ゴンチャロフ座標を構成すること。
• コンツェビッチとソイベルマンのウォールクロッシング公式を、ハイパーケーラー計量問題におけるインスタントン補正の一貫性条件として適用すること。
• グロス＝シーベルトの枠組みを用いて、対数データを伴う特異なアフィン構造から、カラビ＝ヤウ多様体の複素構造へのインスタントン補正を決定すること。
• 計量問題におけるウォールクロッシング公式と、複素構造問題における一貫性条件を同一視し、等価性を確立すること。
• クラスター代数構造と散乱図を用いて、自己同型の順序付き積によるウォールクロッシング変換を計算すること。
• 変数変換とクラスター変異を用いた明示的例の検証により、等価性を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒチンのモジュライ空間のハイパーケーラー計量へのインスタントン補正は、複素構造への補正とどのように関係しているか？
• RQ2 コンツェビッチとソイベルマンのウォールクロッシング公式は、計量と複素構造の補正の間で統一的メカニズムとして機能できるか？
• RQ3 グロス＝シーベルトによる複素構造補正の構成と、フォック＝ゴンチャロフによる計量補正の構成との間の明確な数学的等価性は何か？
• RQ4 クラスター代数の変異と散乱図は、両問題におけるウォールクロッシングの挙動をどのように符号化しているか？
• RQ5 この等価性から生じる明示的なカラビ＝ヤウ多様体は何か？ そして、その定義方程式はどのように導かれるか？

主な発見

• コンツェビッチとソイベルマンのウォールクロッシング公式は、ハイパーケーラー計量問題と複素構造問題におけるインスタントン補正を結ぶ一貫性条件を提供する。
• フォック＝ゴンチャロフ座標による計量補正と、グロス＝シーベルトの対数Gromov-Witten理論による複素構造補正という2つのインスタントン補正問題は、ウォールクロッシング構造の同一視の下で数学的に等価である。
• カラビ＝ヤウ多様体の明示的定義方程式が、2つの二次超曲面の交わりとして得られる：$XY = (1+W)^2$, $ZW = (1+Y)^2$。
• 変数再パrametrizationの下で、クラスター変換 $y_2 = x_1^{-1}, x_2 = y_1(1+x_1)^2$ が同じ定義方程式を生成し、一貫性を確認する。
• 安定性壁を両方向に連続的に渡るループに沿った発展を追跡することで、切断なしにウォールクロッシング公式が導かれ、変換 $K_{ar{ heta}_1 + ar{ heta}_2}^{-2}$ が得られる。
• 増加する $k$ に対する $\mathrm{Spec}\, \mathbf{C}[t]/(t^{k+1})$ 上の退化系は、完全なインスタントン補正の一貫した有限次元近似を実現する。