[論文レビュー] Intersecting hypersurfaces and Lovelock Gravity

Steven Willison|ArXiv.org|Feb 22, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 86被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論の高次曲率拡張たるLovelock重力における超曲面の交差を調査する。特筆すべきは、計量の一次微分が不連続である薄い殻（弱い曲率特異点）が古典的に許容可能であり、交差部に物質を局在化できることを示している。これは、弦理論の架空のブレーン・ワールドにおいて見られる交差ブレーン世界の古典的類似物を提供するものであり、純粋なEinstein-Hilbert重力では得られない特徴である。

ABSTRACT

A theory of gravity in higher dimensions is considered. The usual Einstein-Hilbert action is supplemented with Lovelock terms, of higher order in the curvature tensor. These terms are important for the low energy action of string theories. The intersection of hypersurfaces is studied in the Lovelock theory. The study is restricted to hypersurfaces of co-dimension 1, $(d-1)$-dimensional submanifolds in a $d$-dimensional space-time. It is found that exact thin shells of matter are admissible, with a mild form of curvature singularity: the first derivative of the metric is discontinuous across the surface. Also, with only this mild kind of curvature singularity, there is a possibility of matter localised on the intersections. This gives a classical analogue of the intersecting brane-worlds in high energy String phenomenology. Such a possibility does not arise in the pure Einstein-Hilbert case.

研究の動機と目的

• 高次元Lovelock重力（Einstein-Hilbert重力の高次曲率項を含む一般化）における超曲面の交差の力学を調査すること。
• 特に交差部において、計量の微分が不連続な薄い殻がLovelock理論に一貫して埋め込めるかどうかを特定すること。
• 弦理論におけるブレーン・ワールドのシナリオにインspiredされ、複数の超曲面の交差部に物質を局在化できる可能性を検討すること。
• 微分形式、ホモトピー媒介変数、次元拡張されたEuler密度を用いた幾何学的・変分的枠組みを構築し、接合部および交差部を記述すること。
• 標準的一般相対性理論とは異なり、強い特異点を伴わず、このような交差部が一貫した重力源を支持することを確立すること。

提案手法

• 正規直交フレームと微分形式を用いてLovelock作用を定式化し、曲率および接続の幾何的取り扱いを可能にする。
• Lovelock重力に変分原理を適用し、境界項と誘導接続を介して超曲面を越える接合条件を導出する。
• バルク領域間の遷移を記述し、交差作用を計算するためにホモトピー媒介変数と補間形式を導入する。
• 次元拡張されたEuler密度と不変多項式を用いて、交差部における位相的不変量および曲率不変量を定義する。
• 双対格子とチェーン積分を用いて、標準的な単体に基づく手法を一般化した非単体的交差枠組みを構築する。
• 外微分と曲率2形式を用いてBianchi恒等式を導出し、ホモトピー形式の閉じ性を証明することで、作用の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量の一次微分が不連続な薄い殻は、Lovelock重力に一貫して埋め込めるか？
• RQ2 Lovelock重力における超曲面の交差部では、弱い曲率特異点が存在する中でも物質を局在化できるか？
• RQ3 非単体的交差部において、Lovelock重力における接合条件はEinstein-Hilbert重力のそれとどのように異なるか？
• RQ4 次元拡張されたEuler密度とホモトピー媒介変数は、交差部における一貫した作用項を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ5 この形式的枠組みは、有限で明確な欠損角を持つAnti-de Sitter空間内でのブレーンの衝突や三重交差を記述できるか？

主な発見

• 計量の一次微分が不連続な正確な薄い殻は、Lovelock重力において許容可能であり、弱い曲率特異点の一種を表す。
• 交差作用に計量の二次法線微分が現れないことから、不連続性が存在しても理論が一貫して定義可能であることが示された。
• Lovelock力学と整合的な曲率特異点の存在により、複数の超曲面の交差部に物質を局在化できる。
• Lovelock作用から導かれた接合条件は、ホモトピー媒介変数と双対格子の使用により、非単体的交差部を扱える。
• AdS空間内での三重交差において、解は有限な欠損角を示し、エネルギー保存則が一貫しており、このような構成の安定性が確認された。
• 次元拡張されたEuler密度形式は、異なる領域および交差部にわたる作用の位相的不変性と一貫性を保証する。