[論文レビュー] Intrinsic mirror symmetry and categorical crepant resolutions

Daniel Pomerleano|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 58被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アフィンな対数ケーラー・ヤウ多様体におけるシンプレクティックおよびフローリング・コホモロジーの有限性に関する性質を確立し、次数0のシンプレクティック・コホモロジー $SH^0(X)$ が有限生成であり、組合せ的に定義されたスターリング＝ライスナー環のフィルター付き変形として作用することを証明する。さらに、包み込みフローリング群が $SH^0(X)$ 上の有限生成加群であることを示し、ミラー対称性における代数的有限性条件に対応するシンプレクティック的類似を提供するとともに、$X$ が極大に退化し、ホモロジー的セクションを持つ場合に $ olimits\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ のカテゴリカルなクリープント解消が可能であることを示す。

ABSTRACT

The main result of the present paper concerns finiteness properties of Floer theoretic invariants on affine log Calabi-Yau varieties $X$. Namely, we show that: (a) the degree zero symplectic cohomology $SH^0(X)$ is finitely generated and is a filtered deformation of a certain algebra defined combinatorially in terms of a compactifying divisor $\mathbf{D}.$ (b) For any Lagrangian branes $L_0, L_1$, the wrapped Floer groups $WF^*(L_0,L_1)$ are finitely generated modules over $SH^0(X).$ We then describe applications of this result to mirror symmetry, the first of which is an ``automatic generation" criterion for the wrapped Fukaya category $\mathcal{W}(X)$. We also show that, in the case where $X$ is maximally degenerate and admits a ``homological section", $\mathcal{W}(X)$ gives a categorical crepant resolution of the potentially singular variety $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$. This provides a link between the intrinsic mirror symmetry program of Gross and Siebert and the categorical birational geometry program initiated by Bondal-Orlov and Kuznetsov.

研究の動機と目的

• アフィンな対数ケーラー・ヤウ多様体におけるフローリング的不変量、特に $SH^0(X)$ および $WF^*(L_0,L_1)$ の有限性性質を確立すること。
• 多様体 $X$ 上のシンプレクティック不変量を、ミラー対称性の対応で予想される代数的有限性条件と結びつけること。
• $X$ が極大に退化し、ホモロジー的セクションを持つ場合に、包み込みフロビーカ・カテゴリカル $\mathcal{W}(X)$ が $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ のカテゴリカルなクリープント解消であることを示すこと。
• グロス＝シーベルの内在的ミラー対称性プログラムと、ボンダル＝オロヴのカテゴリカルなブリーチャル幾何学プログラムを結びつけること。

提案手法

• 正確かつ凸なシンプレクティック多様体に対して、ハミルトニアン・フローリング・コホモロジー不変量としてのシンプレクティック・コホモロジー $SH^*(X)$ を用い、ペア・オブ・パンツ積により単位的環をなす。
• ラグランジュ的ブレーン $L_0, L_1$ の $X$ 内における包み込みフローリング・コホモロジー $WF^*(L_0,L_1)$ を、$SH^*(X)$ 上の加群として応用する。
• コンパクト化された除数 $\mathbf{D}$ のストラタの直和として得られる組合せ的代数 $\mathcal{A}_\mathbf{k}$ を構成し、交差写像による積構造を備える。
• 除数配置のスターリング＝ライスナー環となる、関連する順次グレーディング環を持つ、$\mathcal{A}_\mathbf{k}$ のフィルター付き変形を定義する。
• $\mathbf{G}_m$-不変性とネフな除数からのフィルター制約を用いて変形の形を制限し、ミラー族の有限次元的モジュライ空間が得られる。
• 順次グレーディングにおける全射性と核の消失を用いて、変形された環とシンプレクティック・コホモロジー $SH^0(X)$ の同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンな対数ケーラー・ヤウ多様体の次数0のシンプレクティック・コホモロジー $SH^0(X)$ は、体 $\mathbf{k}$ 上で有限生成か？
• RQ2 包み込みフローリング群 $WF^*(L_0,L_1)$ は、$SH^0(X)$ 上の有限生成加群か？
• RQ3 $X$ が極大に退化し、ホモロジー的セクションを持つ場合、包み込みフロビーカ・カテゴリカル $\mathcal{W}(X)$ は $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ のカテゴリカルなクリープント解消として機能するか？
• RQ4 シンプレクティック・コホモロジーの有限性性質は、ミラー代数的多様体 $X^\vee$ における代数的有限性条件をどのように反映するか？

主な発見

• 次数0のシンプレクティック・コホモロジー $SH^0(X,\mathbf{k})$ は、$\mathbf{k}$-代数として有限生成である。
• 完全なシンプレクティック・コホモロジー $SH^*(X,\mathbf{k})$ は、$SH^0(X,\mathbf{k})$ 上の有限生成加群である。
• 任意のラグランジュ的ブレーンの対 $L_0, L_1$ に対して、包み込みフローリング群 $WF^*(L_0,L_1)$ は、$SH^0(X)$ 上の有限生成加群である。
• $X$ が極大に退化し、ホモロジー的セクションを持つ場合、$\mathcal{W}(X)$ は $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ のカテゴリカルなクリープント解消を与える。
• 3つの除数 $D_1,D_2,D_3$ を持つ例のミラー族は、$u(x_1x_2x_3 - u) = 0$ で定義される超曲面と同型であり、$\mathbb{A}^1$ 個の特異点を持つため、滑らかなメンバーは存在しない。
• スターリング＝ライスナー環の変形は7パラメータ族 $g_{\vec{a}}$ に制限され、その結果得られる環は、フィルター付き同型により $\mathcal{A}_\Lambda$ に同型である。