[論文レビュー] Pseudoholomorphic Maps Relative to Normal Crossings Symplectic Divisors: Compactification

Mohammad Farajzadeh Tehrani|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、正則交差をなすシンプレクティック除集合に関して、新しい幾何的枠組みを提示する。対象となるのは、対数構造を用いて定義されたコンパクトかつ距離化可能なモジュライ空間であり、特定の almost complex 構造のもとで成立する。主な貢献は、拡張された退化を用いた古典的相対的コンパクト化よりも小さいことが多いコンパクト化の構成であり、その上に射影写像が存在し、各ストラトゥムの変形・障害空間が、正規被覆のトーリックモデルを用いて明示的に記述される。

ABSTRACT

Inspired by the log Gromov-Witten theory of Gross-Siebert/Abramovich-Chen, we introduce a geometric notion of log pseudoholomorphic map relative to simple normal crossings symplectic divisors defined in [9]. For certain almost complex structures, we show that the moduli space of stable log pseudoholomorphic maps of any fixed type is compact and metrizable with respect to an enhancement of the Gromov topology. In the case of smooth symplectic divisors, our compactification is often smaller than the relative compactification and there is a projection map from the former onto the latter. The latter is constructed via expanded degenerations of the target. Our construction does not need any modification of (or any extra structure on) the target. Unlike the classical moduli spaces of stable maps, these log moduli spaces are often virtually singular. We describe an explicit toric model for the normal cone to each stratum in terms of the defining combinatorial data of that stratum. In upcoming papers, we will define a natural Fredholm operator which gives us the deformation/obstruction spaces of each stratum and prove a gluing theorem for smoothing log maps in the normal direction to each stratum. With minor modifications to the theory of Kuranishi structures, the latter would allow us to construct a virtual fundamental class for every such log moduli space.

研究の動機と目的

• 単純な正則交差をなすシンプレクティック除集合に関して、対数的擬全純写像の幾何的概念を定義すること。
• 特定の almost complex 構造のもとで、安定な対数的写像のモジュライ空間のコンパクト性と距離化可能性を確立すること。
• 拡張された退化を用いた古典的相対的コンパクト化よりも小さいことが多いコンパクト化を構成すること。
• 各ストラトゥムの正規被覆を、ストラトゥムの組合せ的データから得られるものとして幾何的に記述すること。
• 将来の研究において、Fredholm 演算子とグルーピング定理を用いた仮想基本類の定義の土台を築くこと。

提案手法

• 正則交差をなすシンプレクティック除集合に関して、擬全純写像の対数的幾何的枠組みを導入すること。
• Gromov 位相の強化を用いて、モジュライ空間のコンパクト性と距離化可能性を証明すること。
• 対数的コンパクト化から、拡張された退化による古典的相対的コンパクト化への自然な射影写像を構成すること。
• ストラトゥムの組合せ的データから得られる明示的なトーリックモデルを用いて、各ストラトゥムの正規被覆を記述すること。
• 将来の研究において、Kuranishi 構造と整合性を持つ変形・障害理論のための Fredholm 演算子を提案すること。
• 各ストラトゥムの法方向に沿った対数的写像の滑らか化を可能にするグルーピング定理を概説することにより、仮想基本類の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆空間を変更せずに、正則交差をなすシンプレクティック除集合に関して、擬全純写像のコンパクトなモジュライ空間をどのように定義できるか。
• RQ2 対数的コンパクト化と、拡張された退化による古典的相対的コンパクト化との関係は何か。
• RQ3 各ストラトゥムのモジュライ空間における正規被覆を、組合せ的データを用いてどのように幾何的に記述できるか。
• RQ4 対数的写像の変形・障害空間の構造は何か。また、それらはどのように Fredholm 演算子を用いてモデル化できるか。
• RQ5 グルーピング定理と Kuranishi 構造の手法を用いて、対数的モジュライ空間に対して仮想基本類を構成できるか。

主な発見

• 特定の almost complex 構造のもとで、強化された Gromov 位相の下で、安定な対数的擬全純写像のモジュライ空間はコンパクトかつ距離化可能である。
• 対数的コンパクト化は、通常の相対的コンパクト化（拡張された退化を用いたもの）よりも、しばしば真に小さい。
• 対数的コンパクト化から、古典的相対的コンパクト化への自然な射影写像が存在する。
• 各ストラトゥムのモジュライ空間における正規被覆は、そのストラトゥムの定義に使われる組合せ的データから得られる明示的なトーリックモデルを備える。
• この枠組みにより、変形・障害理論のための Fredholm 演算子の定義が可能となり、グルーピング定理により仮想基本類の構成が期待される。
• この理論は、被覆空間の変更や周囲空間への追加構造の導入を回避するため、古典的手法とは明確に異なる。