[論文レビュー] Introduction to Bimatrices

W. B. Vasantha Kandasamy, Florentín Smarandache+1 more|ArXiv.org|Jun 21, 2005

Multi-Criteria Decision Making参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、不確実性および不定性を伴う時変動的で多エキスパートの意思決定問題をモデル化するための新しい数学的枠組みとして、二つの異なる行列 A1 と A2 の和集合であるバイマトリクスを導入する。行列理論をバイマトリクスに拡張することで、二重固有値、二重固有ベクトル、特性二項式、および二重変換といった概念を構築し、従来の行列では動的で矛盾するエキスパートの意見を扱う能力に限界があるため、ファジィ論理およびネウトラソフィック論理システムへの応用を可能にする。

ABSTRACT

Generally any real-world problem is not always solvable, because in that not only a percentage of uncertainty is present, but also, a certain percentage of indeterminacy is present. The presence of uncertainty has been analyzed using fuzzy logic. In this book the amount of indeterminacy is being analyzed using neutrosophic logic. Most of these models use the concept of matrices. Matrices have certain limitation; when the models are time-dependent and any two experts' opinions are being studied simultaneously, one cannot compare both of them at each stage. The new concept of bimatrices would certainly cater to these needs. A bimatrix AB = A1 U A2, where A1 and A2 are distinct matrices of arbitrary order. This book introduces the concept of bimatrices, and studies several notions like bieigen values, bieigen vectors, characteristic bipolynomials, bitransformations, bioperators and bidiagonalization. Further, we introduce and explore the concepts like fuzzy bimatrices, neutrosophic bimatrices and fuzzy neutrosophic bimatrices, which will find its application in fuzzy and neutrosophic logic.

研究の動機と目的

• 従来の行列が時変動的で多エキスパートの意思決定問題を不確実性および不定性を伴ってモデル化する際に抱える限界を解消すること。
• 同時に矛盾するまたは変化するエキスパートの意見を表現・分析できる、バイマトリクスと呼ばれる新しい代数的枠組みを構築すること。
• 動的システムに適した二重固有値、二重固有ベクトル、および特性二項式を含む、行列理論の拡張を実現すること。
• ファジィバイマトリクス、ネウトラソフィックバイマトリクス、およびファジィネウトラソフィックバイマトリクスを通じて、ファジィ論理およびネウトラソフィック論理を行列構造に統合すること。
• 不確実な状態における意思決定、システム分析、および不確実性モデル化の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 任意の次数の二つの異なる行列 A1 と A2 の和集合としてバイマトリクスを定義し、AB = A1 ∪ A2 と表記する。
• 二つの成分行列 A1 と A2 における一般化固有値問題を通じて、二重固有値および二重固有ベクトルの概念を導入する。
• バイマトリクスの式における行列 A1 と A2 の行列式から導かれる形式多項式として、特性二項式を構築する。
• 標準的な線形変換をバイマトリクスの文脈に拡張するため、バイマトリクスに作用する線形変換としての二重変換を定義する。
• A1 と A2 の両方の構造的・代数的性質を保つように作用するバイオペレータを定義する。
• 行列の対角化に類似した解析に適した形にバイマトリクスを簡略化する手法として、バイ対角化を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列理論は、時変動的で矛盾するエキスパートの意見を伴うシステムをどのように拡張してモデル化できるか？
• RQ2 標準行列に存在しないが、バイマトリクスにおいては出現する代数的構造および不変量（例：固有値、多項式）は何か？
• RQ3 バイマトリクスは、不確実性と不定性の両方を含むシステムをどのように表現・分析できるか？
• RQ4 行列の対角化や変換といった標準的な行列演算のバイマトリクスフレームワーク内での類似物は何か？
• RQ5 ファジィ論理およびネウトラソフィック論理は、不確かさや不定性を伴う現実の意思決定問題をモデル化するために、どのようにバイマトリクス理論に統合できるか？

主な発見

• 本稿では、二つの成分行列 A1 と A2 における一般化固有値問題の解として、二重固有値および二重固有ベクトルが明確に定義されている。
• 特性二項式は、バイマトリクスの行列式から導かれる形式多項式として導入され、バイマトリクス系のスペクトル解析を可能にする。
• 二重変換は、バイマトリクスに作用する線形変換として定義され、構造的整合性を保ちつつ動的システムのモデル化を可能にする。
• バイ対角化は、行列の対角化に類似した形で、バイマトリクスをより単純な形に還元する手法として提案され、さらなる解析を容易にする。
• 不確実性と不定性を含むシステムのモデル化のための拡張として、ファジィバイマトリクス、ネウトラソフィックバイマトリクス、およびファジィネウトラソフィックバイマトリクスが導入された。
• 本フレームワークは、古典的行列理論の範囲を超えて、複雑で多源の時変動的意思決定問題をモデル化するための理論的基盤を提供する。