[論文レビュー] Invariance principle and rigidity of high entropy measures

Ali Tahzibi, Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は滑らかな力学系における不変性原理のための新しいエントロピー基準を確立し、中心リャプノフ指数が消える不変測度に関する既知の結果の簡略化された証明を提示する。さらに、1次元コンパクトな中心foliationをもつ$C^2$部分的双曲的微分同相写像に関して、高エントロピーのエルゴディック測度が存在するならば、その系は回転型である、つまりアノソフ微分同相写像の等長的拡張と同相であることを示し、このような系における剛性結果を確立する。

ABSTRACT

A deep analysis of the Lyapunov exponents, for stationary sequence of matrices going back to Furstenberg, for more general linear cocycles by Ledrappier and generalized to the context of non-linear cocycles by Avila and Viana, gives an invariance principle for invariant measures with vanishing central exponents. In this paper, we give a new criterium formulated in terms of entropy for the invariance principle and in particular, obtain a simpler proof for some of the known invariance principle results. As a byproduct, we study ergodic measures of partially hyperbolic diffeomorphisms whose center foliation is 1-dimensional and forms a circle bundle. We show that for any such C2 diffeomorphism which is accessible, weak hyperbolicity of ergodic measures of high entropy implies that the system itself is of rotation type.

研究の動機と目的

• 力学系における不変性原理のための新しいエントロピー基準を定式化すること。
• 中心リャプノフ指数が消える測度に対する不変性原理の簡略化された証明を提供すること。
• 1次元コンパクトな中心foliationをもつ部分的双曲的微分同相写像における高エントロピーエルゴディック測度の剛性を調査すること。
• このような系が回転型（すなわち、アノソフ微分同相写像の等長的拡張と同相）であるための条件を確立すること。

提案手法

• 著者らは、拡大foliationに沿った測度的エントロピーに基づく、従来のリャプノフ指数に基づく定式化に代わる不変性原理の新しい基準を導入する。
• 不安定foliationに沿ったエントロピー$h_{\nu}(f, \tilde{\nu})$を用い、変分原理を介してトポロジカルエントロピーと関連付ける。
• 極限測度を分析するための可測な道具立て（分割の収束、条件付き分割に沿ったエントロピーなど）を構築する。
• 不変測度$\mu_n$が極限$\mu_0$に収束することを用い、エントロピー連続性と分割の細分化技術を活用して証明を進める。
• Ledrappier-Young理論とPesinの公式を応用し、測度的エントロピーとリャプノフ指数を関連付ける。
• 高エントロピー測度が中心指数をゼロに持つならば、中心指数の上限に基づく背理法を用いて、系が回転型でなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心リャプノフ指数がゼロである不変測度に対して、不変性原理が成り立つエントロピー条件は何か？
• RQ2 リャプノフ指数ではなくエントロピーを用いて不変性原理を再証明できるか？
• RQ3 1次元コンパクトな中心foliationをもつ部分的双曲的微分同相写像において、エルゴディック測度が高エントロピーであるとき、どのような剛性性が現れるか？
• RQ4 高エントロピー測度が中心指数をゼロに持つことは、系が回転型であると結論づけるのに十分か？
• RQ5 系が回転型でない場合、Gibbs $u$-状態の集合の構造はいかなるものか？

主な発見

• 不変性原理のための新しいエントロピー基準が確立され、従来の知られていた結果のより簡単な証明が得られた。
• $C^2$部分的双曲的微分同相写像で1次元コンパクトな中心foliationをもつ系において、エルゴディック測度が高エントロピーならば、その系は回転型である。
• 系が回転型でない場合、Gibbs $u$-状態の集合$\operatorname{Gibb}^{u}_{\nu}(f)$は、測度$\mu^{-}_1, \dots, \mu^{-}_{k(-)}$の凸結合の集合と一致する。
• エルゴディック測度$\mu_n$の列がトポロジカルエントロピーに近づき、中心指数がゼロに収束するならば、極限測度は非ゼロの中心指数を持つべきであり、これは矛盾を引き起こす。
• トポロジカルエントロピー$h_{\text{top}}(f)$は中心写像のエントロピー$h_{\nu}(f_c)$に等しく、この等式が剛性結果の鍵である。
• すべての高エントロピーエルゴディック測度の中心指数がゼロから一様に離れているとき、かつそのときに限り、系はアノソフ微分同相写像の等長的拡張と同相である。