[論文レビュー] Invariant hypersurfaces of endomorphisms of projective varieties

De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対数 canonical特異点をもつ射影的代数多様体上の極化的自己準同型写像に関して、$f^{-1}$-安定な素被約成分の数に対する鋭い上界を確立する。このような被約成分は有理的チェーン連結であることが示され、最良の上界 $c \leq n + \rho(X)$ が得られる。等号が成立する場合、$X$ は有理的連結であるか、楕円曲線へ射影される。また $c = n + \rho(X)$ のとき $K_X + \sum V_i \sim_\mathbb{Q} 0$ が成り立つ。結果は $\mathbb{Q}$-因子的かつ小特異点を持つ多様体へ一般化され、特に $\mathbb{P}^n$ の場合に最良である。主な貢献は、被約成分の分類が双有理幾何と力学系の手法を用いてなされたことである。

ABSTRACT

We consider surjective endomorphisms f of degree > 1 on projective manifolds X of Picard number one and their f^{-1}-stable hypersurfaces V, and show that V is rationally chain connected. Also given is an optimal upper bound for the number of f^{-1}-stable prime divisors on (not necessarily smooth) projective varieties.

研究の動機と目的

• 極的自己準同型写像（次数 $>1$）をもつ射影的多様体上での $f^{-1}$-安定素被約成分の最大数を特定すること。
• このような不変被約成分が有理的チェーン連結である条件を確立し、特異点を持つ多様体への有理的連結性の一般化を行うこと。
• 安定被約成分の数が理論的上限に達した場合の多様体の構造を分類すること。
• 上界 $n + \rho(X)$ が鋭いことを証明し、等号成立の状況を特徴づけること。特に $\mathbb{P}^n$ の座標超平面と $f$ が $[X_1,\dots,X_{n+1}] \mapsto [X_1^q,\dots,X_{n+1}^q]$ である場合を含む。
• 滑らかでない多様体に対し、滑らかな多様体の結果を $\mathbb{Q}$-因子的かつ小特異点を持つ多様体へ拡張すること。

提案手法

• 線形同値および数値的条件を用いて、$f^{-1}$-安定素被約成分の数を $\mathrm{N\acute{e}ron-Severi}$ 群と $\rho(X)$ を用いて上から抑える。
• 特異多様体を取り扱い、上界の有効性を保証するため、付随の反転および対数正則特異点理論を適用する。
• 繰り返しのファイブレーションおよび正規化写像を用いた帰納法により、問題を次元の低い場合に還元する。
• $\mathbb{Q}$-線形同値および標準被約成分の条件 $K_X + \sum V_i \sim_\mathbb{Q} 0$ を用いて、等号成立の状況を特徴づける。
• $\operatorname{Pic}(X)$ および $N^1(X)$ 上での $f$ の引き戻し作用、特に $f^*H \sim qH$ を用いて不変性と有限性を導出する。
• 正規化写像による分岐被約成分および引き戻しの解析により、特定の被約成分 $\Delta$ が消えることが示され、$K_X + \sum V_i \sim_\mathbb{Q} 0$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極的自己準同型写像（次数 $>1$）をもつ射影的多様体上での $f^{-1}$-安定素被約成分の最大数は何か？
• RQ2 このような不変被約成分の既約成分が有理的チェーン連結である条件は何か？
• RQ3 $f^{-1}$-安定被約成分の数が上界 $n + \rho(X)$ に達するのはいつか？そのとき多様体はどのような構造をもつか？
• RQ4 この上界は $X = \mathbb{P}^n$ で座標超平面と $f$ が $[X_1,\dots,X_{n+1}] \mapsto [X_1^q,\dots,X_{n+1}^q]$ である場合にのみ達成可能か？
• RQ5 安定被約成分の数が $n + \rho(X) - 1$ 以上、または $n + \rho(X) - 2$ 以上の場合、有理的連結性または楕円曲線へのファイブレーションが強制されるか？

主な発見

• 次元 $n$ の射影的多様体 $X$ と極的自己準同型写像 $f$ をもつとき、$f^{-1}$-安定素被約成分の数 $c$ は $c \leq n + \rho(X)$ を満たし、この上界は鋭い。
• 等号 $c = n + \rho(X)$ が成り立つための必要十分条件は、$K_X + \sum V_i \sim_\mathbb{Q} 0$、$(f^t)^* = q^t \cdot \mathrm{id}$ on $\mathrm{Pic}(X)$、および $f$ が特異点集合および $V_i$ の和集合の外でエタールであることである。
• $c \geq n + \rho(X) - 1$ ならば、$X$ は有理的連結である。
• $c \geq n + \rho(X) - 2$ ならば、$X$ は有理的連結であるか、ある楕円曲線 $E$ へのファイブレーション $X \to E$ が存在し、$f^k$ が $E$ 上の次数 $q$ の自己準同型写像に引き戻され、ファイバーは有理的連結である。
• 定理 1.2 の条件のもとで、各既約成分 $V_i$ 及びその正規化は有理的チェーン連結である。特に $-K_X \sim_\mathbb{Q} rH$ かつ $X$ が対数正則特異点を持つときが該当する。
• 上界 $c \leq n + \rho(X)$ は鋭く、$X = \mathbb{P}^n$、$V_i$ が座標超平面、$f$ が $q$ 乗写像である場合にのみ達成される。