[論文レビュー] Invariant measures of reflected stochastic delay differential equations with jumps

Lijun Bo, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単調な係数条件の下で、ジャンプを伴う多次元反射確率的遅れ微分方程式に対して、不変測度（定常分布）の存在と一意性を確立する。スコロホド空間上のマルコフ半群を用いて、一意的な不変測度への収束を証明し、定常状態における局所時刻の長時間挙動をレギュレータ-局所時刻関係によって特徴付ける。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of multi-dimensional reflected stochastic delay differ- ential equations with jumps. Based on the existence and uniqueness of the strong solution to the equation, we prove that the Markov semigroup generated by the segment process corresponding to the solution admits a unique invariant measure on the Skorohod space when the coefficients of equation satisfy a class of monotone conditions. Finally, we establish a relationship between the regulator and the local time of the solution and discuss a local time property at large time under the stationary setting .

研究の動機と目的

• 多次元反射確率的遅れ微分方程式（ジャンプ付き）に対して、強い解の存在と一意性を確立すること。
• 反射確率的遅れSDEの断片過程が生成するマルコフ半群が、スコロホド空間上に一意な不変測度を有することを証明すること。
• 特に定常状態におけるレギュレータと局所時刻の関係を含め、解の長時間挙動を調査すること。
• このような反射過程における局所時刻の漸近的性質を、定常状態において分析すること。

提案手法

• 反射確率的遅れ方程式の係数に対して単調な条件を用い、強い解の存在と一意性を保証する。
• 解の断片過程を、右連続で左極限をもつ（càdlàg）経路のスコロホド空間上でのマルコフ過程として分析する。
• 関数解析的手法を用いて、断片過程に関連するマルコフ半群に対する不変測度の存在を証明する。
• 経路ごとの分解法を用いて、レギュレータ過程と解の局所時刻との間の関係を確立する。
• エルゴード理論およびマルティンゲール手法を用いて、不変測度の下での局所時刻の長時間挙動を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射確率的遅れSDE（ジャンプ付き）の断片過程が生成するマルコフ半群が、スコロホド空間上に一意な不変測度を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 定常状態において、解の局所時刻はレギュレータ過程とどのように関係しているか？
• RQ3 不変測度の下で、時刻が無限大に近づく際の局所時刻の漸近的性質は何か？
• RQ4 解の長時間挙動は、レギュレータと局所時刻の過程の相互作用によって特徴付けられるか？

主な発見

• 仮定された単調な係数条件の下で、反射確率的遅れSDE（ジャンプ付き）の強い解は存在し、一意的である。
• 断片過程が生成するマルコフ半群は、càdlàg経路のスコロホド空間上に一意な不変測度を有する。
• 解の経路におけるレギュレータ過程と局所時刻との間の明確な関係が確立された。
• 定常状態において、局所時刻は不変測度およびレギュレータ構造によって明確に特徴づけられる、well-definedな長時間挙動を示す。