[論文レビュー] Invariant probabilities for discrete time Linear Dynamics via Thermodynamic Formalism

Artur O. Lopes, Ali Messaoudi+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Advanced Banach Space Theory参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$c_0(\mathbb{R})$ や $l^p(\mathbb{R})$（$1 \leq p < \infty$）などの非反射的バナッハ空間上での重み付きシフト作用素に対して、不変で、エルゴード的で、完全にサポートされたσ加法的確率測度の存在を、熱力学的形式主義の新規な適応を用いて確立する。 Hölder連続なポテンシャルに対して作用する転送作用素 $\mathcal{L}_A$ を導入し、核上の事前測度を活用することで、Ruelle-Perron-Frobenius定理を用いて一意なギブズ状態の存在を証明し、反射的空間に限らない結果へと拡張する。

ABSTRACT

We show the existence of invariant ergodic $σ$-additive probability measures with full support on $X$ for a class of linear operators $L: X o X$, where $L$ is a weighted shift operator and $X$ either is the Banach space $c_0(\mathbb{R})$ or $l^p(\mathbb{R})$ for $1\leq p

研究の動機と目的

• 非反射的バナッハ空間、たとえば $c_0(\mathbb{R})$ や $l^p(\mathbb{R})$ 上での離散的線形力学系に対して、不変で、エルゴード的で、完全にサポートされたσ加法的確率測度の存在を確立すること。
• 従来、コンパクト空間または反射的空間に限られていた熱力学的形式主義の適用範囲を、非自明な核をもつ広範な線形作用素へと拡張すること。
• 標準的なエルゴード理論的手法とは異なり、近似を用いない新しい方法で、無限次元線形力学系におけるギブズ測度を構成すること。
• 線形作用素の核上に定義された事前測度 $m$ が「適応可能」である条件を特定し、双対転送作用素の収束を保証すること。

提案手法

• 有界なHölder連続ポテンシャル $A$ を用いて定義される転送作用素 $\mathcal{L}_A$ が、$X = c_0(\mathbb{R})$ や $l^p(\mathbb{R})$ 上の連続関数に作用するように、Ruelle-Perron-Frobenius定理を非線形的でない設定に適応する。
• 確率測度の1-Wasserstein空間上に作用する双対作用素 $\mathcal{L}_A^*$ を導入し、それが一意な不動点に収束することを保証する。
• 線形作用素 $L$ の核上に定義された事前確率測度 $m$ を要請し、$m$ が「適応可能」であるための条件を課す。これにより、反復された双対作用素の収束が保証される。
• Prokhorovの定理と緊密性の推定を用いて、双対作用素の軌道の列挙的コンパクト性を証明し、極限測度の存在を導く。
• Wasserstein距離における収縮補題を用いて、双対作用素の反復が一意な不動点に収束することを示し、これがギブズ測度であることを証明する。
• 測度 $m$ の多項式的および指数的尾部条件を用いて、収束に必要な和分条件を満たすための適応可能測度の基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的形式主義を用いて、$c_0(\mathbb{R})$ や $l^1(\mathbb{R})$ などの非反射的バナッハ空間上での重み付きシフト作用素に対して、不変で、エルゴード的で、完全にサポートされた確率測度を構成できるか？
• RQ2 線形作用素 $L$ の核上に定義された事前測度 $m$ に対して、双対転送作用素 $\mathcal{L}_A^*$ が一意な不動点に収束するための条件は何か？
• RQ3 標準的なコンパクト性が成立しない無限次元で非コンパクトな設定において、Ruelle-Perron-Frobenius定理をどのように適応できるか？
• RQ4 重み $d_n$ の成長と $m$ の尾部挙動がギブズ状態の存在を保証するのに十分な条件は何か？

主な発見

• 双対転送作用素 $\mathcal{L}_A^*$ が $X = c_0(\mathbb{R})$ や $l^p(\mathbb{R})$（$1 \leq p < \infty$）上の確率測度の1-Wasserstein空間に作用するとき、一意なギブズ確率測度がその不動点として存在する。
• 構成されたギブズ測度は、$X$ が非反射的である場合、たとえば $c_0(\mathbb{R})$ や $l^1(\mathbb{R})$ であっても、不変で、エルゴード的で、完全にサポートされている。
• 核上に定義された事前測度 $m$ が適応可能である限り、ギブズ測度の存在が保証される。これは、$m$ が指数 $γ > 1$ の多項式的尾部を持ち、かつ $n^\ell / d_n \in X$ を満たす $\ell > \gamma^{-1}$ が存在する場合に成立する。
• 指数的尾部の場合は、$m$ が適応可能であるための十分条件は $((\log n)/d_n) \in X$ であることであり、これは $d_n$ が指数関数的に増加する場合に満たされる。
• 双対作用素 $\mathcal{L}_A^*$ がギブズ測度に収束することは、Wasserstein距離における収縮補題を用いて証明され、任意の二つの初期測度の反復間の距離が0に近づくことが示された。
• 本手法は、従来の反射的空間における稠密軌道に依存する手法とは異なり、近似を用いない新しい不変測度の構成法を提供する。