[論文レビュー] Invariants of the orthosymplectic Lie superalgebra and super Pfaffians

G Lehrer, R. B. Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正規化されたリーハイペル代数 𝔬𝔰𝓹(V) の不変体理論における初等的定理を確立し、座標超環 𝒮(N) におけるその不変量が、基本的 OSp(V)-不変量と、新たに導入された「超パフラリアン」不変量によって生成されることを証明する。超パフラリアンモジュールの最高重量ベクトルを明示的に構成し、𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) が単純 𝔤𝔩_N-モジュールの重複度1の直和として分解されることを示し、V のテンソル冪における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の構造に応用する。

ABSTRACT

Given a complex orthosymplectic superspace $V$, the orthosymplectic Lie superalgebra $\mathfrak {osp}(V)$ and general linear algebra ${\mathfrak {gl}}_N$ both act naturally on the coordinate super-ring $\mathcal{S}(N)$ of the dual space of $V\otimes{\mathbb C}^N$, and their actions commute. Hence the subalgebra $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$ of $\mathfrak {osp}(V)$-invariants in $\mathcal{S}(N)$ has a ${\mathfrak {gl}}_N$-module structure. We introduce the space of super Pfaffians as a simple ${\mathfrak {gl}}_N$-submodule of $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$, give an explicit formula for its highest weight vector, and show that the super Pfaffians and the elementary (or `Brauer') ${ m OSp}$-invariants together generate $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$ as an algebra. The decomposition of $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$ as a direct sum of simple ${\mathfrak {gl}}_N$-submodules is obtained and shown to be multiplicity free. Using Howe's $({\mathfrak {gl}}(V), {\mathfrak {gl}}_N)$-duality on $\mathcal{S}(N)$, we deduce from the decomposition that the subspace of $\mathfrak{osp}(V)$-invariants in any simple ${\mathfrak {gl}}(V)$-tensor module is either $0$ or $1$-dimensional. These results also enable us to determine the $\mathfrak {osp}(V)$-invariants in the tensor powers $V^{\otimes r}$ for all $r$.

研究の動機と目的

• 正規化されたリーハイペル代数 𝔬𝔰𝓹(V) の不変体理論を発展させること。これは、超群 OSp(V) のそれよりも複雑である。
• 欠落していた不変量のクラス、すなわち OSp(V) の不変量ではないが、すべての 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量を生成するために不可欠な「超パフラリアン」不変量を特定・構成すること。
• 座標超環 𝒮(N) = 𝒮(V⊗ℂ^N) における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の空間の構造を、𝔤𝔩_N-モジュールとして特定すること。
• 結果を応用し、任意の単純テンソルモジュール V^λ における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の次元を計算することにより、それが高々1次元であることを示すこと。
• テンソル冪 V^⊗N における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の構造を特定し、OSp(V)-不変量と擬不変量に区別して分解すること。

提案手法

• 座標超環 𝒮(N) = 𝒮(V⊗ℂ^N) における Howe の (𝔤𝔩(V), 𝔤𝔩_N)-双対性を用い、同時に 𝔬𝔰𝓹(V) と 𝔤𝔩_N が作用する。
• 超パフラリアン空間 Γ(N) を、𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) の単純な 𝔤𝔫_N-部分モジュールとして導入し、その最高重量ベクトルの明示的公式を定理3.5で与える。
• 擬不変量の理論を適用し、𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) を OSp(V)-不変量と OSp(V)-擬不変量に分解することで、不変量の構造を分類する。
• 標準的不変量 𝔠̌ ∈ V⊗V（超形式）と、収縮写像 𝔠̌_{ij} を用いて調和部分空間を定義し、テンソル収縮を介して不変量を分析する。
• 可約 𝔤𝔩_N-モジュールの分割理論的記述と、条件 μ_{m+1} ≤ 2n を用いて、𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) が単純 𝔤𝔩_N-モジュールの直和としての分解を分類する。
• OSp(V) の初等的定理を適用し、N=2k のとき V^⊗N における OSp(V)-不変量が 𝔠̌^⊗k で張られることを示し、超パフラリアンを用いてこの結果を 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の場合に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標超環 𝒮(N) における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の代数 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) の構造は何か？
• RQ2 超パフラリアンがすべての 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量を生成する役割を果たす仕組みは何か？また、OSp(V)-不変量とはどのように異なるか？
• RQ3 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) を 𝔤𝔩_N-モジュールとして明示的に記述できるか？また、それは重複度1の直和か？
• RQ4 任意の単純テンソルモジュール V^λ における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の空間の次元は何か？いつ非ゼロか？
• RQ5 テンソル冪 V^⊗N における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の構造は何か？また、OSp(V)-不変量と擬不変量にどのように分解されるか？

主な発見

• 空間 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) は、重複度1の単純 𝔤𝔩_N-モジュールの直和として分解され、各単純部分モジュールは一意に定まる最高重量ベクトルを持つ。
• 超パフラリアンは、𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) の単純な 𝔤𝔩_N-部分モジュール Γ(N) をなす。その最高重量ベクトルは、公式 (3.5) で明示的に与えられ、FFT の証明に不可欠である。
• 代数 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) は、基本的 OSp(V)-不変量と超パフラリアンによって生成される。これにより、𝔬𝔰𝓹(V) における初等的定理が確立される。
• 任意の単純テンソルモジュール V^λ における 𝔬𝔰𝓹(V)-不変量の空間の次元は高々1であり、最高重量 λ が特定の分割条件（μ_{m+1} ≤ 2n または λ = ω_m + 2∑ℓ_iω_i かつ μ_{m+1} ≤ 2n ≤ μ_m）を満たすときかつそのときに限り1である。
• N ≥ m(2n+1) のとき、擬不変量の空間 (V^⊗N)^𝔒𝔰𝓹(V),det は非ゼロであり、V^⊗r_c における超パフラリアン空間 Γ^0 と、V^⊗(N−r_c) における OSp(V)-不変量の空間によって生成される。ここで r_c = m(2n+1) である。
• 超パフラリアン空間 Γ^0 は、V^⊗r_c の調和部分空間に含まれる。これは、すべての収縮写像 𝔠̌_{ij} によって消えることを意味する。