[論文レビュー] Inverse semigroup C*-algebras associated with left cancellative semigroups

Magnus Dahler Norling|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、左消去性を満たす半群 $S$ の左逆元包 $I_l(S)$ の全および非自明な C*-代数が、特定の条件下で Xin Li の代数 $C^*(S)$ および $C^*_r(S)$ と自然に同型であることを示すことにより、Xin Li の半群 C*-代数と逆半群 C*-代数との間の明確な関係を確立する。主な結果は、群 $G(S)$ 上のある Fell バンドルがアメニタリであるかどうかに依存して、自然な写像 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ が同型であるか否かが決まることであり、これは Nica のアメニタリティ条件を一般化するものである。

ABSTRACT

To each discrete left cancellative semigroup $S$ one may associate a certain inverse semigroup $I_l(S)$, often called the left inverse hull of $S$. We show how the full and the reduced C*-algebras of $I_l(S)$ are related to the full and reduced semigroup C*-algebras for $S$ recently introduced by Xin Li, and give conditions ensuring that these algebras are isomorphic. Our picture provides an enhanced understanding of Li's algebras.

研究の動機と目的

• 左消去性を満たす半群の Xin Li の全および非自明な C*-代数と逆半群 C*-代数との間の構造的関係を明確化すること。
• Li の $C^*(S)$ および $C^*_r(S)$ が左逆元包 $I_l(S)$ の全および非自明な C*-代数と同型となる正確な条件を同定すること。
• 準ラティス順序群に対する Nica のアメニタリティ条件を、群 $G(S)$ 上の Fell バンドルのアメニタリティを用いて一般化すること。

提案手法

• 左消去性により、左乗法作用素 $\lambda_s$ が $S$ 上で双対写像であることを用いて、左逆元包 $I_l(S)$ を左乗法作用素によって生成される逆半群として構成する。
• Li の代数と逆半群代数を結ぶために、$C^*_0(I_l(S))$ および $C^*_{r,0}(I_l(S))$ を通る写像の合成として、自然な全射 $*$-準同型 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ を定義する。
• Milan の弱包含理論および Fell バンドルのアメニタリティを用いて、写像 $\Lambda_0: C^*_0(I_l(S)) \to C^*_{r,0}(I_l(S))$ が同型である条件を特徴付ける。
• 群 $G(S)$ 上の Fell バンドル $\{B_g\}_{g\in G}$ がアメニタリであるかどうかに依存して、$\Lambda_0$ が同型であることが同値であることを示す。ここで $B_g = \overline{\text{span}}\{\lambda_t^*\lambda_s : st^{-1} = g\}$ と定義される。
• 半群 $S$ がアメニタリな群に埋め込めるとき、Fell バンドルがアメニタリであるため、$\Lambda_0$ は同型であり、$C^*(S) \to C^*_r(S)$ も同型であることを証明する。
• Clifford の条件を満たす半群、または独立に構成可能な右イデアルを持つ半群では、アメニタリティまたは群への埋め込みが成り立つ場合に同型が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左消去性を満たす半群 $S$ に対して、自然な写像 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ が同型である条件は何か？
• RQ2 Xin Li の $C^*(S)$ および $C^*_r(S)$ は、左逆元包 $I_l(S)$ の全および非自明な C*-代数とどのように関係しているか？
• RQ3 群 $G(S)$ 上の Fell バンドル $\{B_g\}_{g\in G}$ がアメニタリであるのはいつか？ そしてそれは $C^*(S)$ と $C^*_r(S)$ の同型性とどのように関係するか？
• RQ4 群 $G(S)$ のアメニタリティは、$C^*(S)$ および $C^*_r(S)$ の核的性をどれほど示唆するか？
• RQ5 準ラティス順序群に対する Nica のアメニタリティ条件は、$G(S)$ 上の Fell バンドル構造を用いて再現可能か？

主な発見

• 自然な写像 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ が同型であるのは、群 $G(S)$ 上の Fell バンドル $\{B_g\}_{g\in G}$ がアメニタリであるときかつそのときに限る。
• 半群 $S$ がアメニタリな群に埋め込めるとき、Fell バンドル $\{B_g\}_{g\in G}$ はアメニタリであるため、$C^*(S) \to C^*_r(S)$ は同型であり、両代数は核的である。
• Clifford の条件を満たす半群では、写像 $\eta: C^*(S) \to C^*_0(I_l(S))$ が同型であり、$C^*(S) \to C^*_r(S)$ が同型であるのは、Fell バンドル $\{B_g\}_{g\in G}$ がアメニタリであるときかつそのときに限る。
• 半群 $S$ が消去可能かつ左可換であるとき、$C^*_0(I_l(S))$ が核的であるのは、$S$ が左アメニタリであるときかつそのときに限る。
• 半群 $S$ が左可換であるとき、写像 $S \mapsto C^*(I_l(S))$ は、$S$ が群へのホモモーチズムを備える場合に、最大の群的像 $G(S)$ を通じて函手的である。
• GCD 環 $R$ 上の $ax+b$-半群 $R \rtimes R^\times$ に対して、自然な写像 $C^*(R \rtimes R^\times) \to C^*_r(R \rtimes R^\times)$ は同型であり、その代数は核的である。