[論文レビュー] Nuclearity of semigroup C*-algebras and the connection to amenability

Xin Li|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、理想独立性とトーペリッツ条件の下で、群の部分半群に付随する半群C*-代数が、その左正則表現が忠実であるときにかつそのときに限り核となることを確立している。これらのC*-代数は、群の交叉積へのフルコーナーとして埋め込まれ、核性と境界商を一元的に特徴づけることができ、これはクンツ代数やリングC*-代数を一般化する。

ABSTRACT

We study C*-algebras associated with subsemigroups of groups. For a large class of such semigroups including positive cones in quasi-lattice ordered groups and left Ore semigroups, we describe the corresponding semigroup C*-algebras as C*-algebras of inverse semigroups, groupoid C*-algebras and full corners in associated group crossed products. These descriptions allow us to characterize nuclearity of semigroup C*-algebras in terms of faithfulness of left regular representations and amenability of group actions. Moreover, we also determine when boundary quotients of semigroup C*-algebras are UCT Kirchberg algebras. This leads to a unified approach to Cuntz algebras and ring C*-algebras.

研究の動機と目的

• 左オーレ半群や準ラティス順序群の範囲を超えて、半群C*-代数における核性を特徴づけるという未解決問題を解決すること。
• 一般の左消去可能半群の理想構造を組み込むことで、ニカおよびラーカの枠組みを拡張すること。
• 半群C*-代数の境界商を通じて、クンツ代数とリングC*-代数を統一的に扱うアプローチを確立すること。
• 群のモノイドと交叉積の技法を用いて、境界商がUCTキルヒベルク代数である条件を特徴づけること。
• 左オーレ条件を満たさない場合にも、トーペリッツ条件と理想独立性を用いて、半群C*-代数を群の交叉積に埋め込む一般化を達成すること。

提案手法

• 半群の右イデアル構造を反映する生成元と関係式を用いて、フルおよびリダクド半群C*-代数を構成する。
• 部分半群P ⊆ Gに対するℓ²(G)からℓ²(P)への作用素の圧縮が適切に働くように保証する新しい基準として、トーペリッツ条件を導入する。
• 理想独立性とトーペリッツ条件の下で、群のモノイドC*-代数の同値性を用いて、半群C*-代数が群の交叉積へのフルコーナーとして埋め込まれることを証明する。
• ムーリー＝レナールト＝ウィリアムズの群のモノイド同値から得られるプリミティブ双加法的モジュール構成を用いて、半群と群の交叉積間の普遍ノルムが一致することを示す。
• 拡張理論を適用して、左オーレ半群に制限されない範囲で、半群C*-代数を群の交叉積に埋め込む。これはラーカの結果を左オーレ条件を超えて一般化する。
• 半群C*-代数の境界商を分析し、群の作用が境界上で位相的に自由で、かつ半群が必要な条件を満たす場合、それがUCTキルヒベルク代数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半群C*-代数の左正則表現が忠実である条件は何か？ そしてそれは核性とどのように関係するか？
• RQ2 半群C*-代数の境界商がUCTキルヒベルク代数である条件は何か？
• RQ3 左オーレ条件を課さずに、半群C*-代数を群の交叉積へのフルコーナーとして埋め込むことは可能か？
• RQ4 トーペリッツ条件は、群から部分半群への作用素の圧縮の整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 どのUCTキルヒベルク代数が、半群C*-代数の境界商として現れるか？

主な発見

• 構成可能な右イデアルが独立で、トーペリッツ条件を満たす限り、部分半群P ⊆ Gのフルおよびリダクド半群C*-代数は、対応するGによるフルおよびリダクド交叉積へのフルコーナーとして埋め込まれる。
• 同じ条件下で、半群C*-代数の核性は、その左正則表現が忠実であることと同値である。
• 群の作用が境界上で位相的に自由で、かつ半群が独立性およびトーペリッツ条件を満たす場合、半群C*-代数の境界商はUCTキルヒベルク代数である。
• 数体の整数環上のax+b-半群に対して、境界商は自然にリングC*-代数𝔸[R]に同型であり、単位群の作用が位相的に自由であれば、UCTキルヒベルク代数である。
• トーペリッツ条件は、準ラティス順序群および左オーレ半群の正の錐においても満たされるため、埋め込み結果の適用範囲を左オーレ仮定を超えて拡張できる。
• この構成により、クンツ代数とリングC*-代数が、半群C*-代数の境界商として統一的に扱えるようになり、それらの分類の共通枠組みが提供される。