[論文レビュー] Semigroup C*-algebras and amenability of semigroups

Xin Li|arXiv (Cornell University)|May 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、左消去性を満たす半群に対して、縮小版および完全版の半群C*-代数の新規構成を提示する。右イデアル構造を組み込むことで、A. Nicaの研究およびJ. Cuntzのトーペリッツ代数を一般化する。主な貢献は、群の場合と同様に、これらのC*-代数を用いた半群の左アメニタリティの特徴付けであり、特定の条件下でC*-代数の核的性が左アメニタリティを示し、逆にそれも成り立つ。

ABSTRACT

We construct reduced and full semigroup C*-algebras for left cancellative semigroups. Our new construction covers particular cases already considered by A. Nica and also Toeplitz algebras attached to rings of integers in number fields due to J. Cuntz. Moreover, we show how (left) amenability of semigroups can be expressed in terms of these semigroup C*-algebras in analogy to the group case.

研究の動機と目的

• A. Nicaの半群C*-代数構成を、準ラティス順序群を超えて、任意の左消去性を満たす半群へ一般化すること。
• G. Murphyの一般的等長表現に基づく構成とは異なり、核的でないC*-代数を生じるが、より取り扱いやすい枠組みを提供すること。
• 半群のアメニタリティと関連するC*-代数の性質との直接的な関係を確立し、群の場合と類似の関係を構築すること。
• トーペリッツ代数（数体の整数環における）を含む既存の構成を、共通のイデアル論的枠組みで統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 左消去性を満たす半群の右イデアル構造を符号化する普遍性を用いて、完全版および縮小版の半群C*-代数を構成する。
• 半群が群に埋め込める場合に、群C*-代数へ因数分解する条件付き期待値を導入する。
• 半群の交叉積の拡張理論を用いて、完全版C*-代数をアーベルC*-代数の群作用による交叉積として実現する。
• 交叉積の安定性および核的性の性質を活用し、C*-代数の核的性が基礎となる半群のアメニタリティを示すことを証明する。
• 部分群に埋め込まれた半群、特に左正則表現を用いて、縮小版と完全版C*-代数の同型がアメニタリティと関係することを関係づける。
• 核的C*-代数の商が核的であるという事実を活用し、核的性の問題を関係する群とアーベル代数の構造に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A. Nicaの半群C*-代数構成を、準ラティス順序群を超えて任意の左消去性を満たす半群へ一般化する方法は何か？
• RQ2 半群のアメニタリティとその関連C*-代数の核的性または構造との正確な関係は何か？
• RQ3 半群が左アメニタリでない場合でも、半群C*-代数の左正則表現が同型写像であることがあるか。そのような場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 半群のイデアル構造が、特に非主イデアル整域の場合に、関連C*-代数の性質をどの程度決定づけるか？
• RQ5 構成可能な右イデアルが独立であるという条件は、C*-代数の構成が取り扱いやすく核的であるために必須であるか？

主な発見

• 可算で、消去性を満たし、アーベルな任意の半群の完全版半群C*-代数は、補題4.16で示されるように核的である。
• 縮小版または完全版半群C*-代数が核的であるならば、半群は左アメニタリである。これは命題4.17で確立された。
• 類数が1より大きい整数環上のax+b-半群のC*-代数は、J. Cuntzが構成したトーペリッツ代数と同型である。これにより、本構成が既知の例を一般化していることが示された。
• 自由積N*nのような非アメニタリな半群に対しても、半群が消去性および左可逆性を満たす限り、本構成により核的C*-代数が得られる。
• 半群が左アメニタリでないにもかかわらず、自由積N*nに対して左正則表現λ: C*s(P) → C*r(P)が同型写像である。これは、同型性とアメニタリティとの間にギャップが存在することを示唆している。
• Murphyの構成ではN×Nの完全版半群C*-代数は核的でないが、本稿の構成ではアーベル半群に対して核的性が保証される。これにより、新規フレームワークの優位性が浮き彫りになった。