[論文レビュー] Irreducible Complexity in Pure Mathematics

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|Nov 4, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、圧縮可能な理論を持たない数学的事実、すなわち不可約的複雑性—それ自体が完全な『万物の理論』（TOE）の実現を不可能にする—を主張している。アルゴリズム的情報理論を用いて、一部の数学的真実はアルゴリズム的にランダムであり、有限の公理集合から導出できないことを示し、ゲーデルの不完全性定理を、数学的真実が根本的に圧縮不能な情報であるという枠組みで拡張している。

ABSTRACT

By using ideas on complexity and randomness originally suggested by the mathematician-philosopher Gottfried Leibniz in 1686, the modern theory of algorithmic information is able to show that there can never be a "theory of everything" for all of mathematics.

研究の動機と目的

• 数学的真実は、それらを導出できる有限の公理的体系が存在しない、不可約的複雑性を有することを示すこと。
• 数学的不完全性を論理的パラドックスではなく、アルゴリズム的情報量の結果としてとらえることで、ゲーデルの不完全性定理を拡張すること。
• アルゴリズム的にランダムな数学的事実の存在により、数学の『万物の理論』（TOE）が根本的に不可能であることを示すこと。
• ライプニッツの複雑性と単純性に関する哲学的考察を、現代のアルゴリズム的情報理論の枠組みに再定式化すること。
• 停止確率Ωが、そのビットがいかなるより小さい形式的体系でも計算不能であるため、不可約な数学定数の具体的な例であることを確立すること。

提案手法

• 与えられたデジタルオブジェクトまたは数学的事実を計算できる最小のプログラムのサイズとして、アルゴリズム的情報量を定義する。
• オッカムの剃刀とライプニッツの原理を適用する：有効な理論は、説明すべきデータよりも単純でなければならない、すなわち圧縮可能でなければならない。
• アルゴリズム的にランダム（不可約）なオブジェクトを、そのアルゴリズム的情報量がサイズに等しい、すなわち圧縮が不可能な対象として定義する。
• ユニバーサルプレフィックスフリーチューリングマシンの停止確率であるチェイチン定数Ωを、不可約な数学定数の代表例として用いる。
• Ωの最初のNビットを知ることで、サイズNビット以下のすべてのプログラムの停止問題を解けることを示す。
• Ωの不圧縮性に起因し、Nビット未満の公理を持ついかなる形式的公理系でも、Ωの最初のNビットを証明できないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の形式的公理的体系は、数学的真実を完全に捉えることができるか。それとも、不可約的複雑性による根本的限界が存在するか。
• RQ2 アルゴリズム的情報理論は、自己言及的パラドックスの範囲を超えて、ゲーデルの不完全性定理をどの程度まで拡張できるか。
• RQ3 最小プログラムのサイズを用いて、数学における不可約性を形式化できるか。その結果、数学的知識にどのような意味が生じるか。
• RQ4 なぜ停止確率Ωは不可約な数学定数の例であるのか。また、それが形式的体系の限界をどのように示しているか。
• RQ5 不可約的複雑性の概念は、すべての数学的真理に理由や説明が存在するとする古典的合理主義的視点にどのように挑戦するか。

主な発見

• アルゴリズム的にランダムである、すなわちそのアルゴリズム的情報量がサイズに等しく、いかなるより小さな理論へも圧縮できない数学的事実が存在する。
• Nビット未満の公理を持ついかなる形式的公理系でも、チェイチン定数Ωの最初のNビットを証明できないため、数学的知識に根本的な限界が存在することが示された。
• Ωの最初のNビットを知ることで、サイズNビット以下のすべてのプログラムの停止問題を解けるため、不可約性と決定不能性が結びついている。
• 停止確率Ωは、いかなる計算可能関数よりも速く複雑性が増加するため、そのビットを効率的に計算することは不可能である。
• 不可約な数学的事実の存在は、数学の『万物の理論』（TOE）が不可能であることを示しており、そのような理論は無限の公理を必要とするか、ランダムな事実を説明できない。
• ライプニッツが17世紀に提唱した単純さと複雑さに関する洞察は、現代のアルゴリズム的情報理論を予見していたが、形式的体系の限界とは結びつけていなかった。