[論文レビュー] Irreducible symplectic complex spaces

Tim Kirschner|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 56被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、FujikiクラスCで有理的特異点をもつ、非可約シンプレクティック複素空間の基礎的性質を確立する。主な焦点はホッジ理論、変形理論、およびブルアヴィレ＝ボゴモロフ形式に向けられている。このような空間について、H²に純粋な重み2ホッジ構造が存在することを示し、解体写像による引き戻しにおいてホッジフィルトレーションF²が保存されることを示し、これによりH²(X, R) → H²(X, O_X)の上への写像が得られる。主な貢献は、局所トーレリ定理およびブルアヴィレ＝ボゴモロフ形式のフジキ関係式の確立である。

ABSTRACT

In chapter 1 we define period mappings of Hodge-de Rahm type for certain submersive, yet not necessarily locally topologically trivial, morphisms of complex manifolds. Generalizing Griffiths's theory, we interpret the differential of such period mappings as the composition of the Kodaira-Spencer map and a map derived from the sheaf cohomological cup product and the contraction of vector fields with differential forms. In chapter 2 of the text, we consider a submersive morphism $f\colon X o S$ of complex spaces which is compactified by a proper, flat, and Kähler morphism $\bar f\colon \bar X o S$. Taking into account the codimension of $\bar X\setminus X$ in $\bar X$, we draw conclusions about the degeneration behavior of the relative Frölicher spectral sequence of the morphism $f$ and about the local freeness of the modules $\mathrm{R}^qf_*(Ω^p_f)$; our results can be viewed as relative generalizations of a theorem of Takeo Ohsawa. In our final chapter 3, we employ the upshots of the preceding two chapters in order to deduce a local Torelli theorem for irreducible symplectic complex spaces. As an application of the local Torelli theorem, we prove that irreducible symplectic complex spaces whose codimension of the singular locus does not deceed 4 satisfy the so-called Fujiki relation.

研究の動機と目的

• 非可約シンプレクティック複素空間の包括的なホッジ理論的枠組みの構築。
• シンプレクティック複素空間における局所トーレリ定理の確立。
• このような空間におけるブルアヴィレ＝ボゴモロフ形式の存在性および性質の証明。
• 特異点の解体におけるホッジ構造の振る舞いの分析。
• FujikiクラスC空間の文脈におけるブルアヴィレ＝ボゴモロフ形式のフジキ関係式の検証。

提案手法

• ホッジ構造の変動を研究するため、周期写像とガウス＝ミン接続を用いる。
• 局所変形を分析するため、形式的完成および無限小近傍の理論を適用する。
• コhom的性質を研究するため、ガウス＝ミン接続および導来ファンクターを用いる。
• フロリッヒスペクトル系列の退化を分析するため、基本変換写像およびスペクトル系列を用いる。
• 有理的特異点のためのホッジ理論を、特異点の解体およびレーラースペクトル系列を介して適用する。
• シンプレクティック構造を介してブルアヴィレ＝ボゴモロフ形式を構成し、ホッジフィルトレーションとの整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FujikiクラスCで有理的特異点をもつ非可約シンプレクティック複素空間XにおけるH²(X)上のホッジ構造は、どのように振る舞うか？
• RQ2 滑らか部分に存在するシンプレクティック形式は、解体写像の下で、どのようにして全体的な形式に拡張可能か？
• RQ3 解体写像f: W → Xによる引き戻しにおいて、ホッジフィルトレーションF²H²(X)の構造はいかなるものか？
• RQ4 非可約シンプレクティック複素空間に対して、局所トーレリ定理は成立するか？
• RQ5 ブルアヴィレ＝ボゴモロフ二次形式の正確なフジキ関係式はどのような形か？

主な発見

• FujikiクラスCで有理的特異点をもつ非可約シンプレクティック複素空間XにおけるH²(X)の混合ホッジ構造は、重み2の純粋ホッジ構造である。
• 任意の解体写像f: W → Xに対して、引き戻し写像f*: F²H²(X) → F²H²(W)は同型である。
• 標準的写像H²(X, R) → H²(X, O_X)は全射であり、F²-フィルトレーションの同型およびW上の古典的ホッジ理論から従う。
• 局所トーレリ定理が成立する：シンプレクティック形式は複素空間の局所変形型を決定する。
• H²(X, Z)上のブルアヴィレ＝ボゴモロフ形式は、フジキ関係式を満たす：∫_X (σ)^n = c ⋅ Q(σ, σ)^{n/2}（c > 0 なる定数cに対して）。
• H²(X)上の重みフィルトレーションは、W_n H²(X) = 0（n < 2のとき）およびW_n H²(X) = H²(X, Q)（n ≥ 2のとき）を満たし、純粋性が確認される。