[論文レビュー] Isometric embeddings in trees and their use in the diameter problem

Guillaume Ducoffe|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 82被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$k$本の木への準等長埋め込みを許容するグラフおよび有限距離空間の直径を計算する近似的最適なアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、木の総サイズを$N$とするとき、$ mathcal{O}(2^{ mathcal{O}(k\log k)}(N+n)^{1+o(1)})$時間で動作する。また、$k$本の木の強い積への埋め込みの場合、より高速な$ mathcal{O}(N + kn)$時間のアルゴリズムを提供し、木における効率的な中心距離クエリを可能にする新規なデータ構造を導入している。

ABSTRACT

We prove that given a discrete space with $n$ points which is either embedded in a system of $k$ trees, or the Cartesian product of $k$ trees, we can compute all eccentricities in ${\cal O}(2^{{\cal O}(k\log{k})}(N+n)^{1+o(1)})$ time, where $N$ is the cumulative total order over all these $k$ trees. This is near optimal under the Strong Exponential-Time Hypothesis, even in the very special case of an $n$-vertex graph embedded in a system of $ω(\log{n})$ spanning trees. However, given such an embedding in the strong product of $k$ trees, there is a much faster ${\cal O}(N + kn)$-time algorithm for this problem. All our positive results can be turned into approximation algorithms for the graphs and finite spaces with a quasi isometric embedding in trees, if such embedding is given as input, where the approximation factor (resp., the approximation constant) depends on the distortion of the embedding (resp., of its stretch). The existence of embeddings in the Cartesian product of finitely many trees has been thoroughly investigated for cube-free median graphs. We give the first-known quasi linear-time algorithm for computing the diameter within this graph class. It does not require an embedding in a product of trees to be given as part of the input. On our way, being given an $n$-node tree $T$, we propose a data structure with ${\cal O}(n\log{n})$ pre-processing time in order to compute in ${\cal O}(k\log^2{n})$ time the eccentricity of any subset of $k$ nodes. We combine the latter technical contribution, of independent interest, with a recent distance-labeling scheme that was designed for cube-free median graphs.

研究の動機と目的

• $k$本の木への準等長埋め込みが可能なグラフおよび有限距離空間における直径計算のための高速アルゴリズムの開発。
• 木のノード部分集合に対する中心距離クエリを効率的に行えるデータ構造の設計。$k$個のノードについて、$ mathcal{O}(n\log n)$の事前処理時間と$ mathcal{O}(k\log^2 n)$のクエリ時間。
• 埋め込みを入力として必要としない、立方体自由中間点グラフにおける直径計算のための最初の擬線形時間アルゴリズムの提供。
• 強力な指数時間仮説（SETH）に基づくタイトな条件付き下界を確立し、提案されたアルゴリズムの近似的最適性を示す。
• 木への準等長埋め込みを有する一般の距離空間に対して、歪みに依存する近似因子を有する近似アルゴリズムの提供。

提案手法

• 有限距離空間の等長および準等長埋め込みを、$k$本の木の系または$k$本の木の積に利用し、直径計算問題を木ベースの計算に還元する。
• 各ノードが4つの可能な状態を保持できるようにする動的計画法を木に適用し、上行および下行に値を伝搬させることで中心距離を計算する。
• 中間点グラフにおける重心のスターファイバーに由来するゲート付き部分グラフに対して再帰的分割統治戦略を適用し、ファイバーの凸性およびゲート付き性を活用する。
• 部分グラフにおける距離および頂点重みの効率的計算を可能にする距離ラベル化スキームを中間点グラフに適用し、全体の実行時間を短縮する。
• 上記の技術を中間点グラフにおける重心分解戦略と組み合わせ、各再帰レベルで頂点の半分未満を処理することを保証し、$ mathcal{O}(\log n)$レベルに抑える。
• 各ファイバーからの最大中心距離寄与を反映させるために、頂点重みを更新する修正版BFSを用い、ゲートおよびファイバーからの距離を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k$本の木への準等長埋め込みが可能なグラフまたは有限距離空間の直径は、$ mathcal{O}(n^2)$時間未満で計算可能か？
• RQ2 $k$本の木の系に埋め込まれた空間におけるすべての中心距離の計算の最適時間計算量は何か？ これは$k$にどのように依存するか？
• RQ3 埋め込みを入力として必要としない、立方体自由中間点グラフにおける直径計算のための近似的最適なアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 強力な指数時間仮説（SETH）は、このような木に類似した空間における直径計算の時間計算量にどのような制限を課すか？
• RQ5 木への準等長埋め込みを有する空間に対して、近似アルゴリズムを導出可能か？ その近似因子は埋め込みの歪みに依存し、近似定数はそのストレッチに依存するか？

主な発見

• $n$個の点からなる有限距離空間が$k$本の木の系に準等長埋め込み可能である場合、その直径は、木の総サイズを$N$とするとき、$ mathcal{O}(2^{\mathcal{O}(k\log k)}(N+n)^{1+o(1)})$時間で計算可能である。
• $k$本の木の強い積への埋め込みの場合、直径は$ mathcal{O}(N + kn)$時間で計算可能であり、一般の場合よりも顕著に高速である。
• 本稿では、立方体自由中間点グラフにおける直径計算のための最初の擬線形時間アルゴリズムを提示する。グラフの次元および次数にやや穏やかな条件が満たされれば、$ mathcal{O}(n^{1+o(1)})$時間で動作する。
• 事前処理時間$ mathcal{O}(n\log n)$のデータ構造を提案し、木内の任意の$k$ノード部分集合の中心距離を$ mathcal{O}(k\log^2 n)$時間でクエリ可能である。
• アルゴリズムの時間計算量は、強力な指数時間仮説（SETH）のもとで近似的最適であることが示され、$\omega(\log n)$本のスパニング木への埋め込みに対しても同様である。
• 木への準等長埋め込みを有するグラフに対して、本稿では歪みに依存する近似因子を有する近似アルゴリズムを提供し、近似定数はそのストレッチに依存する。