[論文レビュー] Isotriviality is equivalent to potential good reduction for endomorphisms of ${\mathbb P}^N$ over function fields

Clayton Petsche, Lucien Szpiro+1 more|ArXiv.org|Jun 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、体 K = k(C) 上の射影空間の自己準同型に関して、等質的であること（isotriviality）が、K のすべての場所で潜在的良い還元をもつことと同値であることを確立する。著者らは、代数幾何と幾何的不変量論を用いた証明と、非アルキメデス的力学系を用いた証明の2通りの証明を提示し、P^1 に対する以前の結果を高次元へ一般化する。主な貢献は、局所的還元性質を用いた等質的自己準同型のグローバルな特徴付けである。

ABSTRACT

Let $K=k(C)$ be the function field of a complete nonsingular curve $C$ over an arbitrary field $k$. The main result of this paper states that a morphism $ϕ:{\mathbb P}^N_K o{\mathbb P}^N_K$ is isotrivial if and only if it has potential good reduction at all places $v$ of $K$; this generalizes results of Benedetto for polynomial maps on ${\mathbb P}^1_K$ and Baker for arbitrary rational maps on ${\mathbb P}^1_K$. We offer two proofs: the first uses algebraic geometry and geometric invariant theory, and it is new even in the case N=1. The second proof uses non-archimedean analysis and dynamics, and it more directly generalizes the proofs of Benedetto and Baker. We will also give two applications. The first states that an endomorphism of ${\mathbb P}^N_K$ of degree at least two is isotrivial if and only if it has an isotrivial iterate. The second gives a dynamical criterion for whether (after base change) a locally free coherent sheaf ${\mathcal E}$ of rank $N+1$ on $C$ decomposes as a direct sum ${\mathcal L}\oplus...\oplus{\mathcal L}$ of $N+1$ copies of the same invertible sheaf ${\mathcal L}$.

研究の動機と目的

• P^1 における等質的であることと潜在的良い還元の同値性を、関数体上の P^N へ一般化すること。
• この同値性の2通りの別個の証明（幾何的および力学的）を提示すること。
• 曲線上の局所自由な層が、同一の可逆層の直和に分解するための基準を確立すること。
• 自己準同型が、ある反復写像が等質的であることと同値であることを示すこと。
• Benedetto と Baker の canonical height および前周期的点に関する結果を、等質的ケースに統合・拡張すること。

提案手法

• k 上の P^N の次数 d の自己準同型のモジュライ空間 M_{N,d} を、アフィン k-代数多様体として構成する。
• すべての場所で潜在的良い還元をもつ自己準同型から誘導される C → M_{N,d} の正則写像の存在を用いる。
• M_{N,d} のアフィン性を活用して、この写像が定数写像であることを示し、したがって自己準同型が等質的であることを結論づける。
• 非アルキメデス的力学系と固有性の価値的基準を用いて、前周期的点に関連する射影バンドルのセクションを構成する。
• 線型独立な k-有理前周期的点の存在を用いて、層 E から O_C の直和への準同型を構成する。
• 各残渣体上でのファイバーが線型独立であることを示し、その結果として準同型が同型であることを証明する。これにより E が自明であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の P^N の自己準同型に関して、等質的であることと、すべての場所で潜在的良い還元をもつことは同値か？
• RQ2 幾何的不変量論を用いて、等質的であることと潜在的良い還元の同値性を証明できるか？
• RQ3 非アルキメデス的力学系と射影バンドル上のセクション理論を用いて、同値性を確立できるか？
• RQ4 関数体上の P^N の自己準同型が、ある反復写像が等質的であることと同値であるか？
• RQ5 曲線 C 上の階数 N+1 の局所自由層 E が、同一の可逆層の N+1 個の直和に分解する条件は何か？

主な発見

• 射影空間 P^N_K 上の自己準同型 φ: P^N_K → P^N_K が等質的であることと、K のすべての場所 v で潜在的良い還元をもつことは同値である。
• k 上の P^N の次数 d の自己準同型のモジュライ空間 M_{N,d} は、アフィン k-代数多様体である。これにより幾何的不変量論の適用が可能になる。
• すべての場所で潜在的良い還元をもつ自己準同型は、C → M_{N,d} の定数写像を誘導する。このことから、自己準同型が等質的であることが従う。
• 線型独立な k-有理前周期的点の有限集合の存在により、層の同型 E ≅ O_C ⊕ ⋯ ⊕ O_C の構成が可能である。
• E が自明であれば、自己準同型 φ は定数体 k 上で定義されており、等質的であることが確認される。
• 基礎体 k が代数的に閉じていない場合でも同値性は成り立ち、すべての次数 d ≥ 2 へ拡張可能である。