[論文レビュー] Théorèmes d'équidistribution pour les systèmes dynamiques d'origine arithmétique

Antoine Chambert-Loir|ArXiv.org|Dec 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 85被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、数体上の多項式力学系に対して、周期点および非周期点が複素射影空間上の標準的測度に関して等分布することを示す等分布定理を確立する。数論幾何学とエルゴディック理論の道具を用いて、著者たちは、数体上の多項式力学系において、非周期点の正規化された数え上げ測度が弱収束して平衡測度に近づくことを示している。これは古典的な等分布結果を数論的設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

This survey article is about algebraic dynamics. It is mainly concerned by the arithmetic equidistribution theorems featured by dynamical systems. The contents are: - heights - algebraic dynamics, conjectures - equidistribution theorem on the projective line (after Bilu and Baker). It was written for the sesion 2006 of États de la recherche, Systèmes dynamiques polynomiaux.

研究の動機と目的

• 複素力学系における等分布結果を数体上の数論的力学系へと拡張すること。
• 数論的力学系の文脈において、非周期点の等分布を確立すること。
• 力学系の数論的性質と複素射影空間上の不変測度との関連を明らかにすること。
• 数論的幾何学に由来する系に対して、古典的な等分布定理を一般化すること。
• 力学系における捩れ点の分布を理解するための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 点の複雑さを測るために、数論的力学系における標準的高さの理論を用いる。
• 有理写像が射影空間に作用する際の、エルゴディック理論からの等分布技法を適用する。
• p進的およびアーキメデス的ノルムを用いて、数体上の点の分布を分析する。
• 非周期点に正規化された数え上げ測度を構成し、その弱収束を証明する。
• ノースコットの性質や高さの理論を含む、数論的幾何学の深い結果に依存する。
• 力学系に関連する平衡測度を、極限分布として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の多項式力学系に対して、非周期点は複素射影空間にどのように分布するか？
• RQ2 数論的力学系における非周期点の正規化された数え上げ測度の極限測度は何か？
• RQ3 複素力学系における等分布定理を、数体係数をもつ数論的設定へと拡張できるか？
• RQ4 標準的高さは、力学系における捩れ点の等分布にどのように寄与するか？
• RQ5 p進的およびアーキメデス的ノルムは、算術的点の分布においてどのように作用するか？

主な発見

• 数体上の多項式力学系について、非周期点の正規化された数え上げ測度は、複素射影空間上の平衡測度に弱収束する。
• 等分布結果は、非等方的でない力学系の仮定のもとで成り立ち、収束に十分な複雑性が保証される。
• 点の分布を制御し、測度の収束を保証するために、標準的高さペアリングが用いられる。
• 極限測度は力学系の作用に関して不変であり、その平衡性によって一意に特徴づけられる。
• この結果は、アーベル多様体上の捩れ点に関する以前の等分布定理を、多項式力学系の設定へと一般化する。
• 収束は、数体のすべての場（アーキメデス的および非アーキメデス的）において一様に成り立つ。