[論文レビュー] Iterating the Cuntz-Nica-Pimsner construction for compactly aligned product systems

James E. Fletcher|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非可換半群に対するDeaconuの反復ToeplitzおよびCuntz–Pimsner代数の構成を、擬格順序群上のコンpactに整列された積系へ一般化する。特に、群が半直積である場合に注目する。Nica–Toeplitz代数およびCuntz–Nica–Pimsner代数が、$\mathbb{N}^k$ 上の積系に対して、それぞれ反復Toeplitz代数および反復Cuntz–Pimsner代数として実現可能であり、反復構成と元の代数との間に同型が存在することを証明する。

ABSTRACT

In this article we study how decompositions of a quasi-lattice ordered group $(G,P)$ relate to decompositions of the Nica-Toeplitz algebra $\mathcal{NT}_\mathbf{X}$ and Cuntz-Nica-Pimsner algebra $\mathcal{NO}_\mathbf{X}$ of a compactly aligned product system $\mathbf{X}$ over $P$. In particular, we are interested in the situation where $(G,P)$ may be realised as the semidirect product of quasi-lattice ordered groups. Our results generalise Deaconu's work on iterated Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras - we show that the Nica-Toeplitz algebra and Cuntz-Nica-Pimsner algebra of a compactly aligned product system over $\mathbb{N}^k$ may be realised as $k$-times iterated Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras respectively.

研究の動機と目的

• 非可換半群に対するDeaconuの不完全な結果を明確化し、拡張する。
• 擬格順序群$(G,P)$が半直積として分解されることにより、関連するNica–Toeplitz代数およびCuntz–Nica–Pimsner代数にどのような分解が誘導されるかを調査する。
• $\mathbb{N}^k$ 上の積系のCuntz–Nica–Pimsner代数が、その部分系のCuntz–Pimsner代数の$k$重反復として得られることを確立する。
• Katsuraの$\mathcal{O}_X$に関する結果を、高ランク系のNica–ToeplitzおよびCuntz–Nica–Pimsner代数へ拡張するための厳密な基礎を提供する。

提案手法

• $(G,P) = (H \rtimes K, Q \times R)$ である擬格順序群の半直積上の積系$\mathbf{X}$を構成する。
• Nica共変性およびCuntz–Nica–Pimsner共変性を満たす普遍表現によって、Nica–Toeplitz代数$\mathcal{NT}_{\mathbf{X}}$およびCuntz–Nica–Pimsner代数$\mathcal{NO}_{\mathbf{X}}$を定義する。
• 反復構成を導入する：まず部分系$\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}$のNica–Toeplitz代数を構築し、次にそのCuntz–Nica–Pimsner代数$\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}}$を形成する。
• 同型写像$\omega: \mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \to \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$およびその逆写像$\omega'$を構成し、普遍性と線形写像の連続性により$\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \cong \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$を示す。
• 普遍性を用いて、$\mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$および$\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}}$の性質を検証し、合成写像$\omega \circ \omega'$および$\omega' \circ \omega$がそれぞれの代数上で恒等写像として作用することを確認する。
• 結果を$\mathbb{N}^k$-次数付き系に適用し、$k$重反復が元の$\mathcal{NT}_{\mathbf{X}}$および$\mathcal{NO}_{\mathbf{X}}$代数を回復することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DeaconuのToeplitzおよびCuntz–Pimsner代数の反復構成は、$\mathbb{Z}^2$ を超えて、より一般的な擬格順序群へ一般化可能か？
• RQ2 基礎となる群$(G,P)$が半直積として分解されることにより、関連するNica–Toeplitz代数およびCuntz–Nica–Pimsner代数の構造にどのような影響が生じるか？
• RQ3 $\mathbb{N}^k$ 上の積系のCuntz–Nica–Pimsner代数は、その部分系のCuntz–Pimsner代数の$k$重反復と同型か？
• RQ4 Nica–Toeplitz代数は、$\mathbb{N}^k$ 上の積系に対して、その部分系のToeplitz代数の$k$重反復として得られるか？
• RQ5 普遍性および連続性を用いて、反復構成と元の代数との間の同型を厳密に確立できるか？

主な発見

• $\mathbb{N}^k$ 上の積系のCuntz–Nica–Pimsner代数は、その部分系のCuntz–Pimsner代数の$k$重反復と同型である。
• Nica–Toeplitz代数は、$\mathbb{N}^k$ 上の積系に対して、その部分系のToeplitz代数の$k$重反復と同型である。
• 明示的な同型写像$\omega: \mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \to \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$およびその逆写像$\omega'$が構成され、$\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \cong \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$が証明された。
• 合成写像$\omega \circ \omega'$および$\omega' \circ \omega$が生成表現上で恒等写像として作用することを検証することで、同型が確立された。
• 結果として、コンパクトに整列された積系が一般の擬格順序群の半直積上に存在する文脈において、反復構成のための厳密な枠組みが提供された。
• この枠組みにより、Katsuraの$\mathcal{O}_X$に関する結果が、$\mathbb{N}^k$-次数付き系のNica–ToeplitzおよびCuntz–Nica–Pimsner代数へ拡張可能となった。