[論文レビュー] Iterative Rounding for the Closest String Problem

Jingchao Chen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2007

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、NP困難な最も近い文字列問題を多項式時間で反復的に丸めることで解くアルゴリズムを提案する。整数計画法（IP）に再定式化し、貪欲な丸め手順で解く。3つの文字列までの場合、最適解から1の範囲内で解を得ることができ、既存の分枝限定法よりも著しく高速かつスケーラブルである。

ABSTRACT

The closest string problem is an NP-hard problem, whose task is to find a string that minimizes maximum Hamming distance to a given set of strings. This can be reduced to an integer program (IP). However, to date, there exists no known polynomial-time algorithm for IP. In 2004, Meneses et al. introduced a branch-and-bound (B & B) method for solving the IP problem. Their algorithm is not always efficient and has the exponential time complexity. In the paper, we attempt to solve efficiently the IP problem by a greedy iterative rounding technique. The proposed algorithm is polynomial time and much faster than the existing B & B IP for the CSP. If the number of strings is limited to 3, the algorithm is provably at most 1 away from the optimum. The empirical results show that in many cases we can find an exact solution. Even though we fail to find an exact solution, the solution found is very close to exact solution.

研究の動機と目的

• 既存の分枝限定法による最も近い文字列問題の計算非効率性（指数時間計算量）を解消すること。
• 整数計画法の定式化に基づき、反復的丸めを用いて最も近い文字列を効率的に近似する多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• 入力文字列の数が3に制限される場合に、最適解から1の範囲内で解を得られるという、保証された良い近似性能を提供すること。
• さまざまなインスタンスにおいて、正確または近似的に最良の解を効果的に見つけるアルゴリズムの性能を実験的に評価すること。

提案手法

• 最も近い文字列問題を、入力文字列集合への最大ハミング距離を最小化する目的として整数計画法（IP）に再定式化する。
• IPの緩和問題に対して、貪欲な反復的丸め手法を適用し、変数を整数値に段階的に固定しながら妥当性を維持する。
• 各反復で、目的関数への影響を考慮し、分数値が最大の変数を0または1に丸める。
• すべての変数が整数値に設定されるまで丸め処理を繰り返し、元の問題の妥当な解を生成する。
• IPの構造を保ちつつ、多項式時間で収束するようにアルゴリズムを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復的丸め手法は、既存の分枝限定法よりも高速に動作するように、最も近い文字列問題に効果的に適用可能か？
• RQ2 特に入力文字列数が少ない（例：3）場合に、反復的丸め手法の近似品質はどの程度か？
• RQ3 実際の応用では、このアルゴリズムが最適解を正確に見つける頻度はどの程度で、最適解に達しない場合でもどの程度近い解を得られるか？
• RQ4 特定の条件下で、反復的丸め法が最適解から有界な距離内に解を導けることを証明できるか？

主な発見

• 入力文字列が3つ以下のインスタンスでは、反復的丸めアルゴリズムが最適ハミング距離から1の範囲内で解を得ることを保証する。
• アルゴリズムは多項式時間で実行され、Menesesらの指数時間の分枝限定法に比べて顕著な高速化を実現する。
• 実験的結果では、保証がない場合でも、頻繁に正確な最適解が得られることが示された。
• 正確な最適解が得られない場合でも、常に最適解に非常に近い解が得られ、実用的な性能が強く示された。