[論文レビュー] Jumping oscillator

Fabrizio Pugliese, A. M. Vinogradov|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 1999

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 4被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、座標と運動量に突然発生する説明のつかないジャンプを示す、退化したルジャンドル変換を示すラグランジュ系のクラスを調査する。影響およびハミルトニアンベクトル場理論を退化系に適用することで、相対論的後続の振動子モデルを幾何学的枠組みに基づき、相対ハミルトニアン力学を用いてこのジャンプ挙動を示す。

ABSTRACT

It is shown that a lagrangian system whose Legendre transformation degenerates along a hypersurface behaves in a strange manner by jumping from time to time without any ''visible cause''. In such a jump the system changes instantaneously its coordinates as well as its momenta. The mathematical dscription of the phenomenon is based on the theory of impact, refraction and reflection developed by one of the authors and the observation that a hamiltonian vector field, understood as a relative one, can be associated with any lagrangian, degenerated or not. Necessary elements of the general theory of such systems are reported and a detailed description of a post-relativistic oscillator showing such a behaviour is given.

研究の動機と目的

• ルジャンドル変換が超曲面上で退化するラグランジュ系の力学的挙動を理解すること。
• このような系において、外部要因なしに突然発生する位置および運動量のジャンプのメカニズムを説明すること。
• これらのジャンプを記述するための、影響、屈折および反射理論に基づく数学的枠組みを構築すること。
• 具体的なモデルとして、退化した力学を示す'post-relativistic oscillator'を用いて現象を示すこと。

提案手法

• 著者の1人が開発した影響、屈折および反射の理論を用いて、退化系における不連続な力学を分析する。
• ルジャンドル変換が退化している場合でさえも、ラグランジュ系に相対ハミルトニアンベクトル場の概念を適用する。
• ハミルトニアンベクトル場を相対的とみなすことにより、退化超曲面を越えての系の進化を幾何学的に記述する。
• ジャンプ挙動を説明する具体的な例として、post-relativistic oscillatorモデルを用いる。
• 微分幾何学的および変分的技法を用いて、退化超曲面を越えた系の進化を分析する。
• 不連続遷移を支持するハミルトニアン構造と、退化ラグランジュ関数の間の対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化したルジャンドル変換を示すラグランジュ系が、外部の摂動なしに座標および運動量の両方で突然ジャンプする原因は何か？
• RQ2 標準的なハミルトニアン力学が破綻する状況において、このような系の力学を一貫して記述する方法は何か？
• RQ3 影響および反射理論は、退化系における不連続遷移をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 具体的な物理的モデル（例えばpost-relativistic oscillator）は、このようなジャンプ挙動を示せるか？
• RQ5 ハミルトニアンベクトル場は、退化ラグランジュ系の力学を記述するためにどのように適合されるか？

主な発見

• 外部の摂動なしに、位置および運動量が瞬時にジャンプするため、力学に内蔵された不連続性が示唆される。
• ルジャンドル変換の退化は、標準的なハミルトニアン進化の破綻を引き起こし、修正された幾何学的枠組みの必要性を示す。
• 相対ハミルトニアンベクトル場は、退化している場合でさえも、任意のラグランジュ系に一貫して関連付けることができ、不連続遷移の記述を可能にする。
• post-relativistic oscillatorモデルは、ジャンプ挙動を効果的に示しており、現象の具体的な実現を提供する。
• 数学的記述は、退化超曲面を越える遷移をモデル化するために、影響および屈折理論に依存する。
• この枠組みにより、退化ラグランジュ系における滑らかでない進化と不連続な進化の統一的取り扱いが可能になる。