[論文レビュー] K-theory and 0-cycles on schemes

Rahul Gupta, Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特異的かつモジュラス構造を持つスキーム上の0次元サイクルに対してBlochの公式を確立し、Levine-Weibelの0次サイクル Chow 群とMilnor K理論層のNisnevichコホモロジーの間の同型を証明する。代数的に閉じた体上での正則な次元1の部分に特異なアフィンスキームまたは射影スキームに対して、K理論へのサイクル類写像の核が有界な指数を持つことを示し、古典的なBloch-Quillen理論を特異的かつ相対的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove Bloch's formula for 0-cycles on affine schemes over algebraically closed fields. We prove this formula also for projective schemes over algebraically closed fields which are regular in codimension one. Several applications, including Bloch's formula for 0-cycles with modulus, are derived.

研究の動機と目的

• 滑らかでないスキームに対して有効なBlochの公式を、特異的スキームおよびモジュラス付きスキームへと拡張すること。
• 特異的およびモジュラス構造を持つスキーム上でのLevine-Weibelの0次サイクル Chow 群とMilnor K理論層のNisnevichコホモロジーの間のBloch-Quillen型同型を確立すること。
• 特異的スキーム上での0次サイクルから代数的K理論へのサイクル類写像の核の構造を分析し、それが有界指数の torsion であることを示すこと。
• KatoによるBlochの公式の特異的スキームへの一般化の有効性に関する未解決の問題を解消すること。
• 0次サイクルのモジュラスを相対K理論およびエタール基本群と関連付けるK理論的解釈を提供すること。

提案手法

• Levine-Weibelの0次サイクル Chow 群からMilnor K理論層のNisnevichコホモロジーへの自然な全射Bloch-Quillen写像を構成する。
• Nisnevich位相と層論的技法を用いて、特異的スキーム上でのMilnor K理論層 $\mathcal{K}^M_{d,X}$ の定義と分析を行う。
• Nisnevich位相における特異点の解消と純粋性定理を適用し、問題をアフィンおよび射影的ケースに還元する。
• Euler類群と相対K理論の理論を用いて、サイクル類写像の核を分析する。
• 完備体上での基底変換および極限の議論を用いて、代数的に閉じた体から一般の完備体への結果の拡張を行う。
• 既知のK理論層のNisnevichおよびZariskiコホモロジーの同型および0次サイクルの文脈におけるK理論とMilnor K理論の比較に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Milnor K理論とNisnevichコホモロジーを用いたKatoによるBlochの公式の一般化は、特異的スキームへと拡張可能か？
• RQ2 滑らかでないスキーム上の0次サイクルのモジュラスに、Blochの公式を一般化できるか？
• RQ3 特異的スキーム上での0次サイクルから代数的K理論へのサイクル類写像の核の構造は何か？
• RQ4 次元1の部分に特異なアフィンまたは射影的スキームに対して、0次サイクルのBloch-Quillen同型は成立するか？
• RQ5 有限体上の曲面の場合、エタール基本群は0次サイクルのモジュラス Chow 群とどのように関係するか？

主な発見

• 代数的に閉じた体上、純次元 $d$ の被覆的擬射影的スキーム $X$ に対して、自然な全射 $\rho_X: \mathrm{CH}^{LW}_0(X) \twoheadrightarrow H^d_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{d,X})$ が存在し、$X$ がアフィンまたは射影的でかつ次元1の部分に正則な場合、これは同型である。
• 完備体上でのアフィン曲面に対して、写像 $\rho_X: \mathrm{CH}_0(X) \xrightarrow{\cong} H^2_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{2,X})$ は同型である。
• 代数的に閉じた体上、次元 $d$ の擬射影的滑らかスキーム $X$ とその除数 $D$ に対して、サイクル類写像 $\rho_{X|D}: \mathrm{CH}_0(X|D) \xrightarrow{\cong} H^d_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{d,(X,D)})$ は、$X$ がアフィンまたは $X$ が射影的で $D$ が整関数の場合に同型である。
• 完備体上、次元 $d$ の滑らかなアフィンスキーム $S_X$ に対して、サイクル類写像 $\lambda_{S_X}: \mathrm{CH}_0(S_X) \to K_0(S_X)$ の核は指数 $(d-1)!$ の torsion である。
• 同じ仮定の下で、相対サイクル類写像 $\tilde{\lambda}_{X|D}: \mathrm{CH}_0(X|D) \to K_0(S_X, X_+)$ の核も指数 $(d-1)!$ の torsion である。
• 完備体上での滑らかなアフィン曲面に対して、$D$ が整関数であると仮定しなくても、同型 $\mathrm{CH}_0(X|D) \xrightarrow{\cong} H^2_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{2,(X,D)})$ が成り立つ。