[論文レビュー] Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, I: approximation of metrics with cone singularities

Xiuxiong Chen, Simon Donaldson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、ファノ多様体上の滑らかな反 canonical 除的子に沿ったケーラー・アインシュタイン計量の錐特異点が、一様に有界な直径と下から有界なリッチ曲率を持つ滑らかなケーラー計量による Gromov-Hausdorff 位相での近似が可能であることを確立している。著者らは体積形式の正則化を用いてこのような近似を構成し、一連の複素 Monge-Ampère 方程式を解き、特異計量への収束を証明するとともに、一様な有界性を保ったまま非正のリッチ曲率の状況へも拡張している。

ABSTRACT

This is the first of a series of three papers which provide proofs of results announced recently in arXiv:1210.7494.

研究の動機と目的

• ファノ多様体上に滑らかな反 canonical 除的子に沿ったケーラー・アインシュタイン計量の錐特異点が、正のリッチ曲率を持つ滑らかなケーラー計量の Gromov-Hausdorff 限界であることを証明すること。
• 近似列の直径が、錐角と初期データにのみ依存する一様な有界性を確立すること。
• リッチ曲率が非正である場合にも、直径およびリッチ曲率の有界性を保ったまま近似結果を拡張すること。
• 近似プロセスを通じてソボレフ定数の均一な有界性を提供すること。
• 正則化された体積形式を用いた複素 Monge-Ampère 方程式の解の族が、特異ケーラー・アインシュタイン計量に収束することを示すこと。

提案手法

• 特異計量の体積形式を正則化するために、除的子 $[D]$ に沿った現在の積分を滑らかな正の形式で近似する。
• Calabi-Yau の定理を用いて、正則化された体積形式を伴う複素 Monge-Ampère 方程式を解き、滑らかなケーラー汎関数を得る。
• Yau の定理を適用して、正則化を制御するパrameter $\epsilon$ を含む摂動 Monge-Ampère 方程式の1パラメータ族の解を構成する。
• 陰関数定理および Hölder 連続性理論を用いて、$\epsilon \to 0$ のとき解が元の特異計量に収束することを示す。
• 体積形式および汎関数の $L^{p_0}$ への一様有界性を確立し、等連続性および Hölder 範数での収束を保証する。
• 最大原理および固有値ギャップ推定を活用して、近似計量のリッチ曲率を制御し、一様な直径有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファノ多様体上に滑らかな反 canonical 除的子に沿ったケーラー・アインシュタイン計量の錐特異点が、一様に有界な直径と正のリッチ曲率を持つ滑らかなケーラー計量による Gromov-Hausdorff 位相での近似が可能か。
• RQ2 近似プロセスにより、錐角に依存しないソボレフ定数の均一な有界性が得られるか。
• RQ3 リッチ曲率が非正である場合にも、直径およびリッチ曲率の有界性を保ったまま近似結果を拡張可能か。
• RQ4 正則化パラメータ $\epsilon$ が 0 に近づくとき、複素 Monge-Ampère 方程式の正則化解 $\omega_{\psi_\epsilon}$ が特異ケーラー・アインシュタイン計量 $\omega_{\varphi_\beta}$ にどのように収束するか。
• RQ5 直径の有界性が錐角 $\beta$ および初期データにどのように依存するか、特にリッチ曲率が非正である場合に注目する。

主な発見

• リッチ曲率が正である滑らかなケーラー計量の列の Gromov-Hausdorff 限界が、除的子 $D$ に沿って $2\pi\beta$ の錐角をもつ特異ケーラー・アインシュタイン計量 $\omega_{\varphi_\beta}$ に一致する。ただし $\beta \geq \beta_0 > 1 - \lambda^{-1}$ を満たすものとする。
• 近似列の直径は、$\beta_0$、$\lambda$、および初期データにのみ依存する一様有界性を持つ。リッチ曲率が非正であっても同様に成り立つ。
• 近似プロセスを通じてソボレフ定数の均一有界性が確立され、Jeffres, Mazzeo, および Rubinstein の結果と整合的である。
• $\lambda > 1$ かつ $\beta \in [\beta_0, 1 - \lambda^{-1}]$ の場合、特異計量は still Gromov-Hausdorff 限界であり、リッチ曲率が $c_\beta = 1 - \lambda(1 - \beta) \leq 0$ で下から有界な滑らかな計量の列の極限である。直径は一様に有界である。
• 正則化解 $\omega_{\psi_\epsilon}$ が $\epsilon \to 0$ のとき $\omega_{\varphi_\beta}$ に Gromov-Hausdorff 位相で収束することを示し、体積形式および汎関数の $L^{p_0}$ 範数に一様な制御がなされている。
• 特異計量のラプラシアンの第一固有値は正であり、陰関数論的議論における一意性および正則性を保証する。