[論文レビュー] KMS weights on groupoid and graph C*-algebras

Klaus Thomsen|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、行有限、シンクなし、共フィナルなグラフの C*-代数におけるゲージ作用の KMS 重みを、グラフの隣接行列の正の固有ベクトルに結びつけることで、完全な分類を確立する。非定常部分が無限大のとき β-KMS 重みは β ≥ β₀ のときにのみ存在し、非空で有限のとき β = β₀ のみ、空のときすべての β ∈ ℝ で存在する。極大重みの von Neumann 代数は、λ = e⁻ᵈᴳβ であるハイパーフィニット型 IIIλ 因子である。

ABSTRACT

The paper contains a description of the KMS weights for the one-parameter action on the reduced C*-algebra of a second countable locally compact Hausdorff etale groupoid, arising from a continuous real valued homomorphism satisfying two conditions. The results are subsequently applied to identify the KMS weights for the gauge action on a simple graph algebra. The von Neumann algebra generated by the GNS-representation of an extremal KMS weight is a factor, and tools are developed to determine its type. The paper concludes with three examples to illustrate the results.

研究の動機と目的

• 非単位的 C*-代数における KMS 状態の理論を KMS 重みへと拡張し、特に無限大のグラフ C*-代数に対して適用すること。
• 行有限、シンクなし、共フィナルなグラフの C*-代数におけるゲージ作用の β-KMS 重みの完全な特徴付けを提供すること。
• 極大 β-KMS 重みの GNS 表現によって生成される von Neumann 代数の型を特定すること。
• β-KMS 重みとグラフの隣接行列の正の e^β-固有ベクトルとの間の全単射対応を確立すること。

提案手法

• グラフ C*-代数を Renault-Deaconu-Anantharaman-Delaroche (RDA) 群歪みの帰納的 C*-代数としてモデル化する群歪み C*-代数フレームワークを使用する。
• エーテール群歪みにおける一般化された KMS 重み理論を適用し、局所コンパクトな量子群に関する Kustermans と Vaes の研究に基づく。
• σ^{c₀}-不変 KMS 重みと、適合性条件を満たす単位空間上の正則 Borel 測度との間の全単射対応を確立する。
• KMS 重み φₘ を、C*r(𝒢) から C₀(𝒢⁽⁰⁾) への標準的条件期待 P を用いて定義し、φₘ(a) = ∫ P(a) dm と表す。
• 無限大パス上のシフトに関連する RDA-群歪みとしてグラフ代数を実現することで、一般結果をグラフ代数に適用する。
• 無限大の非負行列のスペクトル理論とマルコフ連鎖の結果を用いて、隣接行列の正の e^β-固有ベクトルを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大で行有限、シンクなしのグラフの C*-代数におけるゲージ作用に対して、どの β ∈ ℝ に対して β-KMS 重みが存在するか。
• RQ2 β-KMS 重みとグラフの隣接行列の正の固有ベクトルとの正確な対応関係は何か。
• RQ3 極大 β-KMS 重みの GNS 表現によって生成される von Neumann 代数の型は何か。
• RQ4 グラフの非定常部分の構造が、β-KMS 重みの存在と性質にどのように影響するか。
• RQ5 極大 β-KMS 重みに対して、因子 πψ(C*(G))'' の Γ-不変量は何か。また、それは β とグラフの構造にどのように依存するか。

主な発見

• 非定常部分 NW_G が空のとき、すべての β ∈ ℝ に対して β-KMS 重みが存在する。
• NW_G が非空で有限のとき、β-KMS 重みは β = β₀ のみ存在する。ここで β₀ は NW_G 内のループの指数的成長率である。
• NW_G が非空で無限大のとき、β-KMS 重みは β ≥ β₀ のときに限り存在する。
• 極大 β-KMS 重みの集合は、隣接行列 A の正の e^β-固有ベクトルの集合と全単射対応する。
• 移動不変測度を持つ d 次元格子グラフでは、β > β₀ のとき、正の e^β-固有ベクトルの錐の極大線は、単位球面 S^{d−1} の点と一対一に対応する。β = β₀ で ∑μ(w)w = 0 ならば、すべてが一つの線に収束する。
• GNS von Neumann 代数 πψ(C*(G))'' は、すべての β ≥ β₀ に対して、λ = e^{-d_G β} であるハイパーフィニット型 III_λ 因子である。ここで d_G はグラフの一般化された周期である。