[論文レビュー] Koszul A-infinity algebras and free loop space homology

Alexander Berglund, Kaj Börjeson|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、プリディのコシュール代数の一般化として、Koszul $A_{\infty}$-代数を導入し、Hochschildコホモロジーの小さな $A_{\infty}$-代数モデルの構成を可能にする。単連結多様体の自由ループ空間コホモロジーは、Koszul双対構造上のねじれ畳み込み $A_{\infty}$-代数を用いて計算可能であり、$\mathbb{C}P^n$ および $\mathbb{Z}$ 上の7次元多様体について新たな計算結果が得られ、従来の結果を一般化する。

ABSTRACT

We introduce a notion of Koszul A-infinity algebra that generalizes Priddy's notion of a Koszul algebra and we use it to construct small A-infinity algebra models for Hochschild cochains. As an application, this yields new techniques for computing free loop space homology algebras of manifolds that are either formal or coformal (over a field or over the integers). We illustrate these techniques in two examples.

研究の動機と目的

• 代数的トポロジーへの応用を目的として、コシュール代数の理論を $A_{\infty}$-代数へと拡張すること。
• 形式的または共形式的（両方でない）多様体の自由ループ空間コホモロジー $H_*(LM)$ を計算するための枠組みを提供すること。
• Koszul双対性を用いて、Hochschildコホモロジーの小さな $A_{\infty}$-代数モデルを構成すること。
• 形式的／共形式的という両条件を満たさない場合の $H_*(LM)$ に関する従来の結果の一般化すること。

提案手法

• 構造写像に特定の同次性条件を課した重み付き $A_{\infty}$-代数として、Koszul $A_{\infty}$-代数の新概念を導入する。
• 特徴付けの確立：$A_{\infty}$-代数がKoszul $A_{\infty}$-代数に quasi-isomorphic であるための必要十分条件は、そのバー代数がdgコモノイドとして形式的であること。
• Koszul $A_{\infty}$-代数上のHochschildコホモロジーに、ねじれ畳み込み $A_{\infty}$-代数を用いて小さな $A_{\infty}$-モデルを構成する。
• 写像 $\kappa: H_*(M) \to H_*(\Omega M)$ を用いて、$C_*(\Omega M)$ 上のHochschildコホモロジーに quasi-isomorphic なねじれ畳み込み $A_{\infty}$-代数を定義する。
• この枠組みを用いて、同型 $H_{*+d}(LM) \cong H_*\operatorname{Hom}^\kappa(H_*(M), H_*(\Omega M))$ を用いて $H_{*+d}(LM)$ を計算する。
• 2つの例にこの構成を適用する：$\mathbb{C}P^n$（形式的だが共形式的でない）および $\mathbb{Z}$ 上の7次元多様体（共形式的だが形式的でない）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由ループ空間コホモロジー計算におけるより一般な多様体を扱うために、コシュール代数の理論を $A_{\infty}$-代数へと拡張できるか？
• RQ2 多様体 $M$ が形式的または共形式的であるが両方でない場合に、$C_*(\Omega M)$ 上のHochschildコホモロジーを効率的にモデル化する方法は何か？
• RQ3 写像 $\kappa: H_*(M) \to H_*(\Omega M)$ は、$H_*(LM)$ とKoszul双対上の $A_{\infty}$-構造との関係において果たす役割は何か？
• RQ4 Chas-Sullivanのループ積 $H_*(LM)$ は、ねじれ畳み込み $A_{\infty}$-代数構造から回復可能か？
• RQ5 形式的／共形式的という共通領域を超えて、この枠組みによってどのような新しい $H_*(LM)$ の計算が可能になるか？

主な発見

• 本稿は、$M$ が $\Bbbk$ 上で形式的であることと、$H_*(\Omega M;\Bbbk)$ が $C_*(\Omega M;\Bbbk)$ に quasi-isomorphic な最小のKoszul $A_{\infty}$-代数構造を持つこととは同値であり、$H_*(M;\Bbbk) \cong H_*(\Omega M;\Bbbk)^{<}$ が成り立つことを示した。
• 本稿は、$M$ が $\Bbbk$ 上で共形式的であることと、$H_*(M;\Bbbk)$ が $C_*(M;\Bbbk)$ に quasi-isomorphic な最小のKoszul $A_{\infty}$-余代数構造を持つこととは同値であり、$H_*(\Omega M;\Bbbk) \cong H_*(M;\Bbbk)^!$ が成り立つことを示した。
• 次元 $d$ の多様体 $M$ が $\Bbbk$ 上で形式的または共形式的であるとき、$H_{*+d}(LM;\Bbbk) \cong H_*\operatorname{Hom}^\kappa(H_*(M;\Bbbk), H_*(\Omega M;\Bbbk))$ という次数付き代数の同型が成り立ち、左辺にはChas-Sullivanのループ積が入る。
• この枠組みにより、$\mathbb{C}P^n$ のChas-Sullivan代数の計算がスムーズに可能となり、Cohen-Jones-Yanのスペクトル系列のチェーンレベルでの精錬が得られた。
• 本稿は、$\mathbb{Z}$ 上で共形式的だが形式的でない7次元多様体 $M$ について、$H_{*+7}(LM;\mathbb{Z})$ を計算した。これは従来の手法では得られなかった結果である。
• Hochschildコホモロジー $HH^*(U,U)$ は、$\mathcal{Z}(U)$ 上の可換な次数付き代数として、明示的な生成子と関係式を用いて記述され、同型 $H_{*+7}(LM) \cong HH^*(U,U)$ が成り立つ。