[論文レビュー] String topology and the based loop space

Eric Malm|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、閉じた、連結で、向き付け可能な多様体 $ M $ に対して、チェーン代数 $ C_*\Omega M $ のホッホシュילדコホモロジーとストリングトポロジーのホモロジー $ \mathbb{H}_*(LM) $ の間で、バタリン＝ヴィルコビッチ（BV）代数の同型を確立する。$ C_*\Omega M $-加群を局所係数とする導来ポアンカレ双対性と、パラメータ付きスペクトルにおけるアティyah双対性を用いて、$ HH^*(C_*\Omega M) $ に自然なBV構造を構成し、チャス＝サリヴァンのループ積と $ S^1 $-作用とが一致することを示す。これは、$ K(G,1) $-多様体に対して以前に得られた結果を一般化する。

ABSTRACT

For M a closed, connected, oriented manifold, we obtain the Batalin-Vilkovisky (BV) algebra of its string topology through homotopy-theoretic constructions on its based loop space. In particular, we show that the Hochschild cohomology of the chain algebra C_*ΩM carries a BV algebra structure isomorphic to that of the loop homology $\mathbb{H}_*(LM)$. Furthermore, this BV algebra structure is compatible with the usual cup product and Gerstenhaber bracket on Hochschild cohomology. To produce this isomorphism, we use a derived form of Poincaré duality with C_*ΩM-modules as local coefficient systems, and a related version of Atiyah duality for parametrized spectra connects the algebraic constructions to the Chas-Sullivan loop product.

研究の動機と目的

• 閉じた、連結で、向き付け可能な多様体 $ M $ に対して、ホッホシュルドコホモロジー $ HH^*(C_*\Omega M) $ に自然なBV代数構造を確立すること。
• このBV構造が、$ \mathbb{H}_*(LM) $ のチャス＝サリヴァンのストリングトポロジーBV代数と同型であることを示すこと。
• BV作用素が、$ C_*\Omega M $-加群を局所係数とする導来ポアンカレ双対性の形式から生じることを示すこと。
• パラメータ付きスペクトルとアティヤ双対性を用いて、ストリングトポロジーにおけるループ積を、$ C_*\Omega M $ に係数をとる $ H_*(M) $ 上の交叉積を通じて関連付けること。
• $ C_*\Omega M $ を用いて、$ K(G,1) $-多様体に限らない一般の多様体へと、ストリングトポロジーとホッホシュルドコホモロジーの間の同型を一般化すること。

提案手法

• $ C_*\Omega M $-加群を局所係数系とする導来ポアンカレ双対性を用いて、双対性同型 $ D: HH^*(C_*\Omega M) \to HH_{*+d}(C_*\Omega M) $ を構成する。
• パラメータ付きスペクトルにおけるアティヤ双対性を適用して、代数的構成を幾何学的チャス＝サリヴァンのループ積に関連付ける。
• $ B $ をホッホシュルドホモロジーからのコンネス作用素とするとき、$ HH^*(C_*\Omega M) $ 上のBV作用素を $ -D^{-1}BD $ として構成する。
• 得られた $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上のBV代数構造が、ホッホシュルドカップ積とゲルステンハーバー括弧とに整合することを示す。
• Goodwillie同型 $ HH_*(C_*\Omega M) \cong H_*(LM) $ を $ D $ と合成することで、$ \mathbb{H}_*(LM) $ への望ましい同型を得る。
• $ A_{\infty} $-加群理論とバーベースコンストラクションを用いて、導来ファンクターと $ \operatorname{Tor} $、$ \operatorname{Ext} $ のファンクター性を $ A_{\infty} $-準同型の下で保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッホシュルドコホモロジー $ HH^*(C_*\Omega M) $ は、ストリングトポロジーのBV代数と同型な自然なバタリン＝ヴィルコビッチ代数構造を備えているか？
• RQ2 パラメータ付きスペクトルとアティヤ双対性を用いて、$ \mathbb{H}_*(LM) $ のチャス＝サリヴァンのループ積が、$ C_*\Omega M $-加群係数をもつ導来ポアンカレ双対性から導けるか？
• RQ3 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上のBV作用素は、標準的なホッホシュルドカップ積とゲルステンハーバー括弧とに整合するか？
• RQ4 $ LM $ 上の $ S^1 $-作用がストリングトポロジーで $ \Delta $ 作用素を誘導するが、この作用は $ C_*\Omega M $ のホッホシュルドコホモロジーにどのように上に引き上げられるか？
• RQ5 $ C_*\Omega M $ を用いて、$ K(G,1) $-多様体に限らない一般の多様体へと、ストリングトポロジーとホッホシュルドコホモロジーの同型を一般化できるか？

主な発見

• $ C_*\Omega M $-加群を局所係数とする導来ポアンカレ双対性を用いて、双対性同型 $ D: HH^*(C_*\Omega M) \to HH_{*+d}(C_*\Omega M) $ を構成する。
• $ D $ とGoodwillie同型 $ HH_*(C_*\Omega M) \cong H_*(LM) $ の合成により、$ HH^*(C_*\Omega M) \cong \mathbb{H}_*(LM) $ という次数付き $ k $-加群同型が得られる。
• $ HH^*(C_*\Omega M) $ 上のBV作用素 $ -D^{-1}BD $ により、これは $ \mathbb{H}_*(LM) $ 上のストリングトポロジーBV代数と同型なバタリン＝ヴィルコビッチ代数となる。
• $ HH^*(C_*\Omega M) $ に誘導されるゲルステンハーバー括弧は、標準的なホッホシュルドコホモロジー括弧と一致する。
• $ \mathbb{H}_*(LM) $ のループ積は、パラメータ付きアティヤ双対性の枠組みを通じて、$ C_*\Omega M $ に係数をとる $ H_*(M) $ 上の交叉積から生じる。
• 以前の $ K(G,1) $-多様体に対する結果を一般化し、群環 $ kG $ の代わりに基底ループ空間のチェーン代数 $ C_*\Omega M $ を用いることで、一般の多様体へと同型を拡張する。