[論文レビュー] Krylov complexity in quantum field theory, and beyond

Alexander Avdoshkin, Anatoly Dymarsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 60被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、自由な質量のあるボソンおよびフェルミオン、ホログラフィックモデル、UVカットオフを有する格子系を含む量子場理論におけるKrylov複雑度を調査する。Lanczos係数が非ユニバーサルな漸近的挙動を示すことを示し、一般化されたMaldacena-Shenker-Stanfordの境界 λ_K ≤ 2π/β を確認するとともに、Krylov複雑度がホログラフィック複雑度とは定性的に異なることがあることを明らかにした。これは、カオス的ダイナミクスにおけるユニバーサリティに関する従来の仮定に挑戦するものである。

ABSTRACT

We study Krylov complexity in various models of quantum field theory: free massive bosons and fermions on flat space and on spheres, holographic models, and lattice models with the UV-cutoff. In certain cases we find asymptotic behavior of Lanczos coefficients, which goes beyond previously observed universality. We confirm that in all cases the exponential growth of Krylov complexity satisfies the conjectural inequality, which generalizes the Maldacena-Shenker-Stanford bound on chaos. We discuss temperature dependence of Lanczos coefficients and note that the relation between the growth of Lanczos coefficients and chaos may only hold for the sufficiently late, truly asymptotic regime governed by the physics at the UV cutoff. Contrary to previous suggestions, we show scenarios when Krylov complexity in quantum field theory behaves qualitatively differently from the holographic complexity.

研究の動機と目的

• UVカットオフを有する自由な質量のある場、コンパクト化された系、格子モデルを含む多様な量子場理論モデルにおけるKrylov複雑度の挙動を調査すること。
• Lanczos係数の成長のユニバーサリティを検証し、量子カオスおよびMaldacena-Shenker-Stanfordの境界との関連を評価すること。
• Lanczos係数の温度依存性を調べ、それがカオスと相関する条件を特定すること。
• ホログラフィック複雑度および計算的複雑度と比較し、特にホログラフィックでない場理論におけるKrylov複雑度を検討すること。
• Lanczos係数の線形成長が、特にUVカットオフの存在下で、普遍的にカオスを示すものかどうかを明確にすること。

提案手法

• Krylov空間における局所演算子の自己相関関数 $C(t)$ からLanczos係数 $b_n$ をLanczosアルゴリズムを用いて計算する。
• 再帰法を用いて演算子成長ダイナミクスを定義し、平坦空間および球面上の自由な質量のあるボソンおよびフェルミオン理論における $b_n$ を抽出する。
• UVカットオフを有する格子モデルにおける $b_n$ の漸近的挙動を数値的に評価し、基礎となるUV理論における可解性またはカオス性を調査する。
• 一般化された境界 $\lambda_{\rm OTOC} \leq \lambda_{\rm K} \leq \frac{2\pi}{\beta}$ を用いて、Krylov複雑度が量子カオスの境界と整合するかを検証する。
• 楕円積分および鞍点近似を用いて、モーメント $\mu_{2n}$ の経路積分表現における作用を解析し、漸近的挙動を導出する。
• 作用 $I(\epsilon)$ の小 $\epsilon$ および $1-\epsilon$ 展開を実行し、モーメントの漸近的挙動における対数的およびべき乗補正を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 UVカットオフを有するQFTにおけるKrylov複雑度は、特にLanczos係数の成長に関して、漸近的領域でユニバーサルな挙動を示すか？
• RQ2 一般化されたMaldacena-Shenker-Stanfordの境界 $\lambda_{\rm K} \leq \frac{2\pi}{\beta}$ は、自由な質量のあるQFTおよび格子モデルにおいても成立するか？
• RQ3 UVカットオフはLanczos係数の漸近的挙動にどのように影響を及ぼし、可解なUV理論とカオス的UV理論を区別できるか？
• RQ4 QFTにおけるKrylov複雑度は、特にホログラフィックでないモデルにおいて、どのようにホログラフィック複雑度と定性的に異なるか？
• RQ5 Lanczos係数 $b_n$ の線形成長が、量子カオスを信頼できる形で示す条件は何か？この関係は、遅延時間の漸近的領域を越えて成り立つか？

主な発見

• UVカットオフを有するQFTにおけるLanczos係数の漸近的挙動はユニバーサルではなく、基礎となるUV理論に依存しており、従来の $b_n \propto n$ の成長が普遍的であるという仮定に反する。
• 自由な質量のあるボソンおよびフェルミオン理論において、一般化された境界 $\lambda_{\rm OTOC} \leq \lambda_{\rm K} \leq \frac{2\pi}{\beta}$ が数値的に確認された。第一の不等式が自明であっても成立する。
• 特定の状況、例えば球面上のコンパクト化された自由場においては、Krylov複雑度はホログラフィック複雑度とは異なる挙動を示し、両者間に本質的な類似性がないことが示された。
• Lanczos係数の成長とカオスとの関連は、UV物理学が支配する真の漸近的領域でのみ有効であり、中間的または初期時間のダイナミクスでは成立しない。
• 小 $\epsilon$ の場合、漸近的モーメント挙動は $\log\mu_{2n} \approx n|\log\epsilon| - 2n\log|\log\epsilon| + 2n\log(2\alpha n)$ であり、主項スケーリングに対する対数補正が明らかになった。
• $1-\epsilon$ 展開において、作用補正は $\delta S = \frac{\delta^2}{8}$ であり、$\log\mu_{2n} \approx 2n\left(\log\frac{4\alpha n}{\pi e} + \frac{\delta^2}{16}\right)$ となる。これは、 conformal limit 付近での2次補正を示している。