[論文レビュー] $L_p$-Representations of Discrete Quantum Groups

Michael Brannan, Zhong‐Jin Ruan|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、離散量子群のための$L_p$-表現と$D$-C$^*$-代数を導入し、乗法的代数の部分空間を通じた群C$^*$-代数の完成化を一般化する。ユニモジュラーな離散量子群、特に自由ユニタリ量子群$\mathbb{F}U_N$のような場合、$p \in (2,\infty)$の$L_p$-C$^*$-代数$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$は、普遍的および縮小C$^*$-代数とは非同型であり、それらは特異的（exotic）であり、文字（characters）をもたない。これは、それらの非単純性と構造的独自性を示している。

ABSTRACT

Given a locally compact quantum group $\mathbb G$, we define and study representations and C$^\ast$-completions of the convolution algebra $L_1(\mathbb G)$ associated with various linear subspaces of the multiplier algebra $C_b(\mathbb G)$. For discrete quantum groups $\mathbb G$, we investigate the left regular representation, amenability and the Haagerup property in this framework. When $\mathbb G$ is unimodular and discrete, we study in detail the C$^\ast$-completions of $L_1(\mathbb G)$ associated with the non-commutative $L_p$-spaces $L_p(\mathbb G)$. As an application of this theory, we characterize (for each $p \in [1,\infty)$) the positive definite functions on unimodular orthogonal and unitary free quantum groups $\mathbb G$ that extend to states on the $L_p$-C$^\ast$-algebra of $\mathbb G$. Using this result, we construct uncountably many new examples of exotic quantum group norms for compact quantum groups.

研究の動機と目的

• 離散群から局所コンパクト量子群への$D$-C$^*$-代数理論の拡張を図り、特に$L_1(\mathbb{G})$の$L_p$-完成化に注目する。
• ユニモジュラーな直交およびユニタリ自由量子群における正定値関数が、$L_p$-C$^*$-代数への状態へ拡張可能であることを特徴づける。
• 離散量子群の$L_p$-完成化を通じて、コンパクト量子群に対する非可算個の新しい特異的量子群ノルムを構成する。
• $p>2$における$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$の非同型性と非単純性を確立し、普遍的および縮小C$^*$-代数から区別する。

提案手法

• $L_1(\mathbb{G})$の$D$-表現を、係数関数が$C_b(\mathbb{G})$の部分空間$D$に属する有界表現として定義する。
• $D$-表現$\pi$の全範囲で$\|\omega\|_D = \sup_\pi \|\pi(\omega)\|$をとることで$C^*$-ノルムを構成し、これにより$D$-C$^*$-代数$C^*_D(\mathbb{G})$を定義する。
• ポントリャーギン双対性を用いて$C^*_D(\mathbb{G})$を$\text{Pol}(\hat{\mathbb{G}})$の完成化として解釈し、コンパクト量子群に対する特異的ノルムの構成を可能にする。
• $\ell_q$-急速減少性の性質を用いて、正定値関数の弱$L_q$-有界性を特徴づけ、これと$L_p$-完成化を関連付ける。
• $\mathbb{F}U_N$上にノルム1の正定値関数$\tilde{\psi}_r$のネットを、量子部分群への射影を用いて構成し、関連する直交量子群関数を介してその$L_p$-有界性を分析する。
• $r \to 1^-$のとき$\sum_g r^{\ell(g)p} \dim(H_g)^2$の発散を用いて、$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$に文字が存在しないことを証明し、非単純性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニモジュラーな自由量子群上の正定値関数のうち、どの関数が$L_p$-C$^*$-代数への状態へ拡張可能か？
• RQ2 $p>2$のとき、$L_p$-C$^*$-代数$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$は特異的（exotic）であるか、すなわち普遍的および縮小C$^*$-代数の真の中間であるか？
• RQ3 $p>2$のとき、$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$は互いに同型でなく、$C_u(U_N^+)$および$C(U_N^+)$とも同型ではないか？
• RQ4 $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$代数はトレースをもち、そのトレースは一意的か？

主な発見

• $p \in (2,\infty)$の各$p$に対して、$L_p$-C$^*$-代数$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$は、縮小C$^*$-代数$C(U_N^+)$とは同型でない。これは非単純性と文字の不在による。
• $2 \leq p < p' < \infty$のとき、$C^*_{p'}(\mathbb{F}U_N) \to C^*_p(\mathbb{F}U_N)$の自然な商写像は単射でない。これにより、これらの代数が特異的であることが証明される。
• $C^*_p(\mathbb{F}U_N)$代数は文字をもたない。なぜなら、弱$L_p$正定値関数が$r$が1に近いとき$\sum_g r^{\ell(g)p} \dim(H_g)^2 < \infty$を満たすことはあり得ないからである。
• $L_p$-完成化により、双対性を介してコンパクト量子群$U_N^+$に対する非可算個の新しい特異的量子群ノルムが得られる。
• $\mathbb{F}U_N$上の$L_p$-有界正定値関数の特徴づけは、$\ell_q$-急速減少性の性質と関連するチェビシェフ多項式$S_{2n}(rN)$の挙動に依存する。
• 異なる$p>2$に対する$C^*_p(\mathbb{F}U_N)$の非同型性は、特定の正定値関数が$L_p$-完成化へ拡張できないことから導かれる。