[論文レビュー] Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces

Mohammed Abouzaid, Denis Auroux+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、トーリック多様体の超曲面およびそのブローアップに対して、ブローアップ上のラグランジュ被覆を用いてSYZ鏡像を構成し、カルビ・ヤウやファノ多様体を超える鏡像対称性の幾何的基盤を確立する。正性の仮定の下で、$V \times \mathbb{C}$ を $H \times 0$ 沿いにブローアップすると、Landau-Ginzburg鏡像が存在することが示され、これはアフィンな円錐バンドルおよび元の超曲面 $H$ の鏡像をももたらし、一般型超曲面のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider mirror symmetry for (essentially arbitrary) hypersurfaces in (possibly noncompact) toric varieties from the perspective of the Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) conjecture. Given a hypersurface $H$ in a toric variety $V$ we construct a Landau-Ginzburg model which is SYZ mirror to the blowup of $V imes\mathbb{C}$ along $H imes 0$, under a positivity assumption. This construction also yields SYZ mirrors to affine conic bundles, as well as a Landau-Ginzburg model which can be naturally viewed as a mirror to $H$. The main applications concern affine hypersurfaces of general type, for which our results provide a geometric basis for various mirror symmetry statements that appear in the recent literature. We also obtain analogous results for complete intersections.

研究の動機と目的

• 一般型の超曲面に対して、ストロミンガー＝ヤウ＝ザスローフ（SYZ）予想をカルビ・ヤウやファノ多様体を超えて拡張すること。
• 一般型多様体ではラグランジュトーラス被覆が成立しないという問題を、そのような被覆を許容するブローアップへの置換によって解決すること。
• Kähler多様体 $X$ に対して、一般化されたSYZ鏡像 $(Y,W)$ をLandau-Ginzburgモデルとして構成すること。ここで $Y$ は $X^0 \subset X$ 上のラグランジュ被覆のフォーカビーカテゴリの対象のモジュライ空間の完備化であり、$W$ はホロモーフィックディスクからの変形データを符号化する。
• 一般型のアフィン超曲面に対して、鏡像対称性の幾何的実現を提供すること。これは、これまでそのような基盤が欠けていた。
• 同じブローアップおよび被覆の枠組みを用いて、完全交差やアフィンな円錐バンドルに対しても一般化すること。

提案手法

• Kähler多様体または $A$-側のLandau-Ginzburgモデルである $X$ の開かつ稠密な部分集合 $X^0 \subset X$ 上のラグランジュトーラス被覆 $\pi: X^0 \to B$ を用いて、一般化されたSYZ鏡像を定義する。
• 鏡像 $Y$ を、フォーカビーカテゴリ $\mathcal{F}(X^0)$ 内の非障害的トーラス型対象のモジュライ空間の完備化として構成し、スーパーポテンシャル $W$ を変形理論およびホロモーフィックディスクの数え上げから得る。
• 正性の仮定を用いて、$\mathrm{Bl}_{H \times 0}(V \times \mathbb{C})$ 上に良好に振る舞うラグランジュ被覆が存在することを保証し、Landau-Ginzburg鏡像モデルの構成を可能にする。
• カットオフ関数の技法と、中心ファイバー内の部分集合への距離関数の推移的推定を用いて、ハミルトニアンベクトル場の振る舞いを制御し、特異的領域に沿ってもそのフローが正しく定義されることを保証する。
• 一般型設定における非自明な構造と障害付きフロアー理論を扱うために、$H^2(X, \mathbb{Z}/2)$ 内のバックグラウンドクラスに関するねじれフォーカビーカテゴリを用いる。
• モース・ボットスーパーポテンシャルのフォーカビーカテゴリとその臨界点集合のフォーカビーカテゴリとの間の同値性（曲率シフトを除く）を活用し、鏡像を元の超曲面 $H$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型の超曲面に対して、特別なラグランジュ被覆が存在しないにもかかわらず、SYZ予想を拡張することは可能か？
• RQ2 超曲面 $H$ がラグランジュトーラス被覆を持たない場合、トーリック多様体 $V$ 内の $H$ に対してLandau-Ginzburg鏡像をどのように構成できるか？
• RQ3 $V \times \mathbb{C}$ を $H \times 0$ 沿いにブローアップすることは、$H$ の一般化されたSYZ鏡像を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 $A$-側のLandau-Ginzburgモデルにモース・ボットスーパーポテンシャルがある場合、そのフォーカビーカテゴリは、その臨界点集合のフォーカビーカテゴリとどのように関係するか？
• RQ5 この構成は、完全交差やアフィンな円錐バンドルに対しても一般化可能か？

主な発見

• 正性の仮定の下で、$V \times \mathbb{C}$ を $H \times 0$ 沿いにブローアップした多様体は、ラグランジュトーラス被覆を持つことが保証され、一般化されたSYZ鏡像の構成が可能になる。
• 得られた鏡像は、Landau-Ginzburgモデル $(Y,W)$ であり、$Y$ は $\mathcal{F}(X^0)$ 内の対象のモジュライ空間の完備化であり、$W$ はホロモーフィックディスクの数え上げから得られるスーパーポテンシャルに制限される。
• この構成により、元の超曲面 $H$ のLandau-Ginzburg鏡像が得られ、一般型超曲面に対して、既存の文献における鏡像対称性の主張の幾何的基盤が提供される。
• この方法はアフィンな円錐バンドルに対しても適用可能であり、同じブローアップおよび被覆の枠組みを用いて、それらのSYZ鏡像が得られる。
• 摂動関数 $f_{t,\lambda}$ に関連するハミルトニアンベクトル場は、局所的に一様に有界であり、特異的領域（例：$(t,\lambda) = (0,\epsilon)$ のときの $H$）に沿っても、フローが正しく定義されることを保証する。
• 背景クラスを $H^2(X, \mathbb{Z}/2)$ にとったねじれフォーカビーカテゴリにより、非スピン構造と障害付きラグランジュ部分多様体を扱うことが可能になり、これは一般型幾何において極めて重要である。