[論文レビュー] Torus Fibrations of Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties and Mirror Symmetry

Ilia Zharkov|ArXiv.org|Jun 17, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、大複素構造極限に近いN次元の滑らかなトーリック多様体内の正則Calabi-Yau超曲面に対して、S^{N-1} 上のT^{N-1}-ファイブレーションを構成する。モノドロミーがファイブレーション内の平行移動によって引き起こされることを示し、双対ファイブレーションが鏡像族を記述するとする証拠を提示し、Calabi-Yau超曲面の鏡像対称性の幾何的理解を進める。

ABSTRACT

We consider regular Calabi-Yau hypersurfaces in $N$-dimensional smooth toric varieties. On such a hypersurface in the neighborhood of the large complex structure limit point we construct a fibration over a sphere $S^{N-1}$ whose generic fibers are tori $T^{N-1}$. Also for certain one-parameter families of such hypersurfaces we show that the monodromy transformation is induced by a translation of the $T^{N-1}$ fibration by a section. Finally we construct a dual fibration and provide some evidence that it describes the mirror family.

研究の動機と目的

• トーリック多様体内のCalabi-Yau超曲面の、大複素構造極限近傍における幾何的構造を理解すること。
• このような超曲面に、一般にトーラスT^{N-1} をファイバーとするS^{N-1} 上のファイブレーション構造を構成すること。
• これらの超曲面の1パラメータ族におけるモノドロミー行動を分析し、ファイブレーションの平行移動と関連付けること。
• 鏡像族を記述する可能性がある双対ファイブレーションを提案すること。
• トーリックCalabi-Yau超曲面の文脈における鏡像対称性の幾何的証拠を提供すること。

提案手法

• 大複素構造極限に近いN次元の滑らかなトーリック多様体内のCalabi-Yau超曲面に、S^{N-1} 上のT^{N-1} をファイバーとするファイブレーションを構成する。
• 大複素構造極限を用いて、崩壊技術を用いて局所的なファイブレーション構造を定義する。
• 1パラメータ族におけるモノドロミー変換を、T^{N-1} ファイブレーション上の作用を調べることで分析する。
• モノドロミーがファイブレーションのセクションに沿った平行移動によって引き起こされることを示す。
• 双対ファイブレーション構造を導入し、双対性によって鏡像族に対応すると主張する。
• 環境多様体のトーリック構造を活用して、ファイブレーションおよびその双対を定義・分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなトーリック多様体内のCalabi-Yau超曲面に対して、大複素構造極限に近い位置でT^{N-1}-ファイブレーションをどのように構成できるか？
• RQ2 このようなCalabi-Yau超曲面の1パラメータ族におけるモノドロミーの幾何的起源は何か？
• RQ3 モノドロミー変換はT^{N-1} ファイブレーション内の平行移動として実現可能か？
• RQ4 双対ファイブレーションの構造は何か？ そして鏡像対称性とどのように関係するか？
• RQ5 双対ファイブレーションの構成は、元のCalabi-Yau超曲面の鏡像族を示す証拠を提供するか？

主な発見

• 正則Calabi-Yau超曲面に対して、N次元の滑らかなトーリック多様体内の大複素構造極限近傍で、S^{N-1} 上のT^{N-1}-ファイブレーションが構成された。
• 1パラメータ族において、モノドロミー変換がT^{N-1} ファイブレーションのセクションに沿った平行移動によって引き起こされることを示した。
• 双対ファイブレーションが構成され、元のCalabi-Yau超曲面の鏡像族の幾何的モデルとして提案された。
• ファイブレーション構造は、大複素構造極限およびそのモノドロミーの幾何的実現を提供する。
• 結果は、元のファイブレーションと双対ファイブレーションの間の予想される双対性が、これらのCalabi-Yau超曲面の鏡像対称性の実現であると支持する。
• 構成は、ホモロジカル鏡像対称性およびトーリック設定におけるSYZ予想の期待と整合している。