[論文レビュー] Lagrangian field theories: ind/pro-approach and L-infinity algebra of local observables

Néstor León Delgado|arXiv (Cornell University)|May 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 56被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元ジャケットバンドルをプロ・有限次元多様体として扱い、微分形式をインダクティブ形式として扱う、インダクティブ／プロカテゴリー的枠組みを、ラグランジュ場理論に適用する。局所的観測量の $L_\infty$-代数を、補助場やゲージ固定を必要とせず、ラグランジュのコホロロジーにのみ依存する形で構成し、ロジャースによる多重シンプレクティック $L_\infty$-代数に関する結果を無限ジャケット設定に一般化する。

ABSTRACT

Field Theories in Physics can be formulated giving a local Lagrangian density. Locality is imposed using the infinite jet bundle. That bundle is viewed as a pro-finite dimensional smooth manifold and that point of view has been compared to different topological and Frechét structures on it. A category of local (insular) manifolds has been constructed. Noether's second theorem is reviewed and the notion of Lie pseudogroups is explored using these concepts. The L-infinity algebra of local observables is defined depending only on the cohomology of the Lagrangian (using a result in multisymplectic manifold which has been extended to the local category). That local pre-multisymplectic form, called the Poincaré-Cartan can be thought of as a coordinate free, cohomological version of other similar structures in the field.

研究の動機と目的

• インダクティブおよびプロカテゴリーを用いた現代的なラグランジュ場理論のカテゴリー的枠組みを提供すること。
• 無限ジャケットバンドルを逆極限によるジャケットバンドルの系列として用いて、プロ・有限次元滑らか多様体として形式化すること。
• 局所的および相対的構造を捉える『島状多様体』のカテゴリーを定義すること。
• ラグランジュのコホロロジーに内在的に依存する局所的観測量の $L_\infty$-代数を構成すること。
• ロジャースによる多重シンプレクティック $L_\infty$-代数の結果を、無限ジャケットおよびインダクティブ／プロ設定に一般化すること。

提案手法

• ジャケットバンドルの逆極限として無限ジャケットバンドルをプロ・有限次元滑らか多様体としてモデル化する。
• 局所形式を無限ジャケットバンドルからの引き戻しとして定義し、二重複体構造を形成する。
• 相対的および局所化された場の配置を扱うために、島状多様体のカテゴリーを導入する。
• 島状カテゴリーにおける接続構造、ベクトル場、微分形式を発展させる。
• 局所的プレ・多重シンプレクティック構造に関連するハミルトニアン形式を用いて、局所的観測量の $L_\infty$-代数を構成する。
• 次数付き交換子とカルタン計算を用いて、インダクティブ／プロ設定における $L_\infty$-関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限ジャケットバンドルをカテゴリー的枠組み内で、プロ・有限次元多様体として厳密に扱う方法は何か？
• RQ2 ラグランジュ場理論における局所的および相対的場の配置を形式化するにふさわしいカテゴリーは何か？
• RQ3 補助場を導入せずに、ラグランジュのコホロロジーから局所的観測量の $L_\infty$-代数を内在的に構成できるか？
• RQ4 カルタン計算やリー微分といった標準的構成は、インダクティブ／プロカテゴリー的設定にどのように一般化されるか？
• RQ5 ロジャースによる多重シンプレクティック形式から $L_\infty$-代数を構成する手法は、無限ジャケットおよびインダクティブ／プロ設定にどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 局所的観測量の $L_\infty$-代数は、ゴーストや双対場を導入することなく、ラグランジュのコホロロジーから自然に定義される。
• ロジャースの結果が一般化される：$L_\infty$-代数は、局所的プレ・多重シンプレクティック形式に関連するハミルトニアン形式から生じる。
• インダクティブ／プロ設定において、$\mathcal{L}_X$、$\iota_X$、$\delta$、$d$ に関する次数付きジャコビ恒等式およびライブニッツ則が、交換子恒等式を用いて検証された。
• $L_\infty$-代数の括弧関係は、追加の解消機構を必要とせず、構成上反対称的かつ多重線形である。
• $L_\infty$-関係の証明は、$(0,2)$-形式上で $[[\delta,\iota_X],\iota_{X'}] = 0$ が成り立つことの確認に依存しており、これは $\delta f$ と $\delta X_i$ を含む項のキャンセルによって成立する。
• ベクトル場およびリー微分の作用のもとで $L_\infty$-代数構造が保存され、恒等式 $[\mathcal{L}_X^d, \mathcal{L}_{X'}^d] = \mathcal{L}_{[X,X']}^d$ によって示された。