[論文レビュー] Laplacian Estrada index of trees

Aleksandar Ilić, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Graph theory and applicationsMathematics参考文献 23被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、$ n $ 頂点をもつすべての木について、パス $ P_n $ がラプラシアン・エストラダ指数（LEE）を最小化し、スターツ $ S_n $ が最大化することを確立している。また、二重スターツ $ S_n(2,n-2) $ は、LEEが2番目に高い唯一の木である。$ \sigma $-変換と、ラプラシアン・エストラダ指数とその線グラフのエストラダ指数との既知の関係を用い、スぺクトルモーメントの比較と特性多項式の根解析により、順序付けを証明している。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph with $n$ vertices and let $μ_1 \geqslant μ_2 \geqslant...\geqslant μ_{n - 1} \geqslant μ_n = 0$ be the eigenvalues of its Laplacian matrix. The Laplacian Estrada index of a graph $G$ is defined as $LEE (G) = \sum\limits_{i = 1}^n e^{μ_i}$. Using the recent connection between Estrada index of a line graph and Laplacian Estrada index, we prove that the path $P_n$ has minimal, while the star $S_n$ has maximal $LEE$ among trees on $n$ vertices. In addition, we find the unique tree with the second maximal Laplacian Estrada index.

研究の動機と目的

• すべての $ n $ 頂点木の中で、ラプラシアン・エストラダ指数（LEE）の極値木（最小および最大）を特定すること。
• リーが炭化水素の分岐度を測るためのトポロジカル指標として妥当であることを検証し、期待される順序付け $ LEE(P_n) < LEE(T) < LEE(S_n) $ が、すべての非パス非スターツ木 $ T $ に対して成り立つことを確認すること。
• すべての $ n $ 頂点木の中で、LEEが2番目に高い唯一の木を同定すること。
• 木のラプラシアン・エストラダ指数とその線グラフのエストラダ指数との間のスぺクトル的関係を確立し、エストラダ指数に関する既知の結果の利用を可能にすること。

提案手法

• 双対グラフに対して成立する既知の恒等式 $ LEE(G) = n - m + e^2 \cdot EE(\mathcal{L}(G)) $ を用いる。ここで $ \mathcal{L}(G) $ は $ G $ の線グラフを表す。
• スぺクトルモーメント法を適用：$ EE(G) = \sum_{k=0}^\infty \frac{M_k(G)}{k!} $、ここで $ M_k(G) $ は長さ $ k $ の閉路の数を表す。
• $ \sigma $-変換を用いる：次数の高い頂点からその隣接頂点へ末端辺を移動させるグラフ操作であり、スぺクトルモーメントを増加させる。
• すべての $ k $ に対して $ M_k(H) \geq M_k(G) $ であり、ある $ k $ で厳密な不等号が成り立つならば $ EE(H) > EE(G) $ であるという事実を用い、線グラフ同士を比較する。
• 二重スターツ $ S_n(a,b) $ のラプラシアン行列の特性多項式を分析し、LEE値の比較に役立てるために非自明な3つの根に注目する。
• 根の局所化技術を用い、ラプラシアン特性多項式の立方因子の最大、中央、最小の正の根を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n $ 頂点をもつ木の中で、ラプラシアン・エストラダ指数が最小となるのはどれか？
• RQ2 $ n $ 頂点をもつ木の中で、ラプラシアン・エストラダ指数が最大となるのはどれか？
• RQ3 すべての $ n $ 頂点木の中で、LEEが2番目に高い唯一の木は何か？
• RQ4 すべての $ n $ 頂点木 $ T \neq P_n, S_n $ に対して、期待される順序 $ LEE(P_n) < LEE(T) < LEE(S_n) $ が成り立つか？
• RQ5 $ \sigma $-変換を用いて、木の構造的変化における LEE の単調性を証明できるか？

主な発見

• すべての $ n $ 頂点木の中で、パス $ P_n $ がラプラシアン・エストラダ指数を最小化する。
• すべての $ n $ 頂点木の中で、スターツ $ S_n $ がラプラシアン・エストラダ指数を最大化する。
• $ n \geq 5 $ のとき、二重スターツ $ S_n(2,n-2) $ は、LEEが2番目に高い唯一の木である。
• $ n \geq 8 $ のとき、$ LEE(S_n(3,n-3)) > LEE(S_n(\lfloor n/2\rfloor, \lceil n/2\rfloor)) $ が成り立ち、$ S_n(2,n-2) $ が第二位であることが確認される。
• $ \sigma $-変換は、双対グラフ（木を含む）において、その線グラフのスぺクトルモーメントが増加するため、ラプラシアン・エストラダ指数を厳密に増加させる。
• $ n \geq 6 $ のとき、$ P_5 $ の中心に $ n-5 $ 個の頂点を接続して得られる木 $ C_n(n-5) $ は、LEEが4番目に高い唯一の木である。これは $ n = 22 $ まで計算による検証に基づく。