[論文レビュー] Large deviations and applications for Markovian Hawkes processes with a large initial intensity

Xuefeng Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、初期強度が大きい線形マルコフ型ハーケス過程における大偏差原理を確立し、有限時間および初期強度・時間の両方が大きい同時大規模な状況の下で、明示的なレート関数を導出する。サンプルパスの大偏差と縮約原理を用いて、クラスタリングされ高強度の到着を示す保険およびキューイングシステムにおける破産確率の正確な漸近的近似を提供する。

ABSTRACT

Hawkes process is a class of simple point processes that is self-exciting and has clustering effect. The intensity of this point process depends on its entire past history. It has wide applications in finance, insurance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study linear Hawkes process with an exponential kernel in the asymptotic regime where the initial intensity of the Hawkes process is large. We establish large deviations for Hawkes processes in this regime as well as the regime when both the initial intensity and the time are large. We illustrate the strength of our results by discussing the applications to insurance and queueing systems.

研究の動機と目的

• 初期強度が大きい場合の線形マルコフ型ハーケス過程の極限偏差挙動を分析すること。
• 初期強度と時間 $T$ が両方とも大きい状況において、カウンティング過程 $N_T$ の大偏差の明示的レート関数を導出すること。
• 大偏差の結果を、自己励起的クレーム到着を示す保険モデルにおける有限時間破産確率の近似に応用すること。
• 理論的枠組みを用いて、ハーケス入力と高い初期到着レートを持つマルチサーバキューイングシステムにおける損失確率を推定すること。
• 先行の関数的大数の法則および中心極限定理に補完的に、同じ漸近的状況における大偏差スケーリングを提供すること。

提案手法

• カウンティング過程のパス $h(t)$ に適用した縮約原理を用いて、過程 $N_t$ のサンプルパスの大偏差を確立する。
• 相対エントロピーの公式を用いて、強度パスとそのダイナミクスを含む、レート関数 $I_N(h)$ を導出する。
• 初期強度 $Z_0 = n$ 条件付きの $N_T$ のモーメント生成関数を用い、 Gärtner-Ellis 定理を適用し、本質的滑らかさを検証する。
• レート関数 $H(x;T)$ が $\inf_{h:h(T)=x} I_N(h)$ で与えられ、非線形常微分方程式の解を用いて閉形式表現を示すことを証明する。
• 下臨界 ($\alpha < \beta$) および上臨界 ($\alpha \geq \beta$) の両状態に一般化し、臨界閾値 $\theta_d(T)$ の明示的特徴付けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期強度 $Z_0 = n$ が無限大に近づくとき、固定時間 $T$ の下で、線形マルコフ型ハーケス過程の極限偏差レート関数は何か？
• RQ2 初期強度 $n$ と時間枠 $T$ が両方とも無限大に近づくとき、極限偏差挙動はどのように変化するか？
• RQ3 大偏差原理を用いて、ハーケス分布クレーム到着を示す保険モデルにおける破算確率の漸近的近似を導出できるか？
• RQ4 同じ枠組みを、ハーケス入力と高い初期負荷を持つマルチサーバキューイングシステムにおける損失確率推定に応用できるか？
• RQ5 大 $n$ の状況における正規化カウンティング過程 $N_T/n$ のレート関数 $H(x;T)$ の明示的形は何か？

主な発見

• $N_T/n$ の大偏差原理は、$I_N(h)$ を経路 $h$ と強度ダイナミクス間の相対エントロピーから導出される良好なレート関数 $H(x;T) = \inf_{h:h(T)=x} I_N(h)$ を持つ。
• 上臨界状態（$\alpha \geq \beta$）では、$C(t; \theta/\alpha)$ を含む非線形常微分方程式の解を用いてレート関数が特徴付けられる。臨界閾値 $\theta_d(T)$ は、モーメント生成関数の有限性の領域を決定する。
• 極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log \mathbb{E}[e^{\theta N_T}] = C(T; \theta/\alpha) - \theta/\alpha$ は $\theta < \theta_d(T)$ の場合にのみ有限であり、この閾値を超えると発散する。
• Gärtner-Ellis 定理の本質的滑らかさ条件が確認され、大偏差原理の有効性が保証される。
• レート関数 $H(x;T)$ が式 (2.9) と等価であることが示され、非線形常微分方程式系の解を用いた閉形式の特徴付けが得られる。
• 保険およびキューイングシステムへの応用により、高い初期到着強度下での破算および損失確率の明示的漸近的近似が得られる。