[論文レビュー] Limit theorems for Markovian Hawkes processes with a large initial intensity

Xuefeng Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、初期強度 $ Z_0 $ が大きい漸近的状態において、線形マルコフ過程のハーケス過程に対して関数的大数の法則および関数的中心極限定理を確立する。過程の遷移的挙動に対する明示的な近似を導出し、強度およびカウント過程がそれぞれ決定的極限および拡散過程に収束することを示し、その分散およびドリフト項は初期強度と励起パラメータに依存する明示的な形で与えられる。

ABSTRACT

Hawkes process is a simple point process that is self-exciting and has clustering effect. The intensity of this point process depends on its entire past history. It has wide applications in finance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study the linear Hawkes process with an exponential exciting function in the asymptotic regime where the initial intensity of the Hawkes process is large. We derive limit theorems under this asymptotic regime as well as the regime when both the initial intensity and the time are large.

研究の動機と目的

• 初期強度 $ Z_0 $ が大きい場合の線形マルコフ過程のハーケス過程の漸近的挙動を分析すること。
• この大規模な初期強度の状態下で、関数的大数の法則および関数的中心極限定理を導出すること。
• 高頻度取引や信用リスクモデリングなどの応用に役立つ、強度およびカウント過程 $ N_t $ の遷移的ダイナミクスに対する近似を提供すること。
• $ Z_0 $ と時間 $ t $ の両方が大きい共同状態の下での解析を拡張し、高い初期状態からの長期的挙動を捉えること。
• 高初期活動状態を示すシステムにおける取引量の持続期間およびデフォルト回数の近似の理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 補助過程 $ Z_t $ を用いたマルコフ表現によりハーケス過程をモデル化し、$ Z_t $ が確率微分方程式 $ dZ_t = -\beta Z_t dt + \alpha dN_t $ を満たすようにする。
• 初期条件 $ Z_0 = n $（$ n \to \infty $）を用いて、大規模な初期強度における漸近的挙動を研究する。
• マーティングールの技法とバーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンデイ不等式を用いて、インノベーション過程 $ M_t $ のモーメントを制御し、$ Z_t $ のモーメントバウンドを可能にする。
• 関数 $ h(t) = \alpha e^{-\beta t} $ を仮定したもとで、$ Z_t $ の1次および2次モーメントの明示的表現を導出する。
• 適切なスケーリングの下で、正規化過程 $ \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_t - \mathbb{E}[Z_t]) $ が拡散過程に弱収束することを確立する。
• $(Z_t, N_t)$ のマルコフ性を用いてモーメント方程式を導出し、モーメントバウンドにグロワールド型推定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期強度 $ Z_0 $ が大きいとき、強度過程 $ \lambda_t = \mu + Z_t $ はどのように振る舞うか？
• RQ2 大規模な初期強度下で、ハーケス過程の遷移的挙動を支配する関数的極限定理は何か？
• RQ3 初期強度 $ Z_0 \to \infty $ の下で、$ Z_t $ の1次および2次モーメントは時間とともにどのように変化し、その漸近的形は何か？
• RQ4 カウント過程 $ N_t $ は大規模な $ Z_0 $ の状態下で拡散過程によって近似可能か？その極限のドリフトおよびボラティリティは何か？
• RQ5 $ Z_0 $ と $ t $ の両方が大きい共同漸近的挙動は何か？このとき収束速度にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 1次モーメントは $ \mathbb{E}[Z_t] = Z_0 e^{(\alpha - \beta)t} + \frac{\alpha Z_0}{\alpha - \beta}(e^{(\alpha - \beta)t} - e^{-\beta t}) $ で与えられ、$ \alpha > \beta $ のとき指数関数的増加を示す。
• 2次モーメント $ \mathbb{E}[Z_t^2] $ は明示的に $ Z_0^2 e^{2(\alpha - \beta)t} + \frac{2\alpha Z_0}{\alpha - \beta}(e^{2(\alpha - \beta)t} - e^{(\alpha - \beta)t}) $ と導出され、$ Z_0^2 e^{2(\alpha - \beta)t} $ の項が支配的である。
• 3次モーメント $ \mathbb{E}[Z_t^3] $ は閉形式で導出され、$ \alpha > \beta $ の下で $ Z_0^3 e^{3(\alpha - \beta)t} $ の項が支配的となり、$ Z_0 $ に対して立方的に増加することが確認される。
• 適切なスケーリングの下で、正規化過程 $ \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_t - \mathbb{E}[Z_t]) $ は、ドリフト $ (\alpha - \beta)Z_t $ およびボラティリティ $ \sqrt{\alpha Z_t} $ を持つ拡散過程に弱収束する。
• 極限拡散過程の分散は $ \alpha Z_0 e^{2(\alpha - \beta)t} $ に比例し、$ \alpha > \beta $ のときフラクチュエーションが指数関数的に増大することを示唆する。
• 関数 $ h(t) = \sum_{i=1}^d \alpha_i e^{-\beta_i t} $ の場合に、$ Z_0^{(i)} \to \infty $ が同じ割合で成り立つ場合に拡張され、マルコフ構造および極限定理が保持される。