[論文レビュー] Large deviations for random walks in a random environment on a strip

Jonathon Peterson|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限幅のストリップ $\mathbb{Z} \times [d]$ 上の確率環境におけるランダムウォークについて、クエンチドおよび平均化された大偏差原理を確立し、クエンチドと平均化されたレート関数を関連付ける変分公式を証明する。このアプローチは、Comets, Gantert, および Zeitouni の統一的枠組みを高次元ストリップへと拡張し、行列積構造とスペクトル解析を用いて、位置および到達時刻のための大偏差漸近挙動を導出する。

ABSTRACT

We consider a random walk in a random environment (RWRE) on the strip of finite width $\mathbb{Z} imes \{1,2,\ldots,d\}$. We prove both quenched and averaged large deviation principles for the position and the hitting times of the RWRE. Moreover, we prove a variational formula that relates the quenched and averaged rate functions, thus extending a result of Comets, Gantert, and Zeitouni for nearest-neighbor RWRE on $\mathbb{Z}$

研究の動機と目的

• 有限幅のストリップ $\mathbb{Z} \times [d]$ 上の確率環境におけるランダムウォークの位置 $X_n/n$ および到達時刻 $T_n/n$ (の)大偏差原理を確立すること。
• 一般のi.i.d.環境下でのウォークの位置および到達時刻のクエンチドおよび平均化された大偏差レート関数を導出すること。
• 一様近傍のRWRE on $\mathbb{Z}$ で知られていたクエンチドと平均化されたレート関数を結ぶ変分公式を、ストリップモデルへと拡張すること。
• 高次元状態空間を取り扱うために、行列積とスペクトル理論を用いた統一的解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 各サイト $n \in \mathbb{Z}$ における左移動、右移動、レベル内移動のためのi.i.d. $d \times d$ な遷移行列 $q_n, r_n, p_n$ を用いてストリップ上のRWREをモデル化する。
• クエンチドおよび平均化された確率測度をそれぞれ $P_\omega^{(x,i)}$ および $\mathbb{P}_\eta^{(x,i)} = \mathbb{E}_\eta[P_\omega^{(x,i)}]$ で定義する。
• 行列積表現 $\Phi_k(\lambda)$ を用いてウォークのモーメント母関数を符号化し、それらをブロック $A_k(\lambda)$ および $B_k(\lambda)$ に分解する。
• 臨界値 $\lambda_{\text{crit}}(\eta)$ より小さい $\lambda$ に対して、行列成分 $A_k(\lambda), B_k(\lambda)$ に対する一様な下界および上界を確立し、スペクトル安定性を保証する。
• 行列積 $A_{[m,n]}(\lambda)$ 上での収縮性議論を用いて、左および右固有ベクトル近似における相対誤差の指数的減衰を証明する。
• 正規化された左および右固有ベクトルの極限ベクトル $\mu_k(\lambda)$ および $\nu_k(\lambda)$ を構成し、$L^1$ および $L^\infty$ における明示的な誤差バウンドを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリップモデルにおける $X_n/n$ および $T_n/n$ のクエンチドおよび平均化された大偏差原理は、どのように相違するか？
• RQ2 高次元的状況下において、クエンチドと平均化されたレート関数を結ぶ変分公式を導出できるか？
• RQ3 大偏差に必要な固有ベクトルの存在および収束を保証するスペクトル的および行列積的性質は何か？
• RQ4 行列成分に対する一様バウンドが、大偏差レート関数の安定性および収束性にどのように影響するか？

主な発見

• ストリップ上での一般のi.i.d.環境下で、$X_n/n$ および $T_n/n$ のクエンチドおよび平均化された大偏差原理が確立された。
• クエンチドレート関数の最小化を通じて平均化レート関数を表現する変分公式が導出され、Comets, Gantert, および Zeitouni の結果がストリップモデルへと拡張された。
• 極限固有ベクトル $\mu_k(\lambda)$ および $\nu_k(\lambda)$ の存在が証明され、$L^1$ および $L^\infty$ における誤差バウンドが積の長さに指数的に減少することが示された。
• すべての $k$ および $\lambda < \lambda_{\text{crit}}(\eta)$ に対して、$c_\lambda \leq A_k(\lambda)(i,j), B_k(\lambda)(i,j) \leq 1/c_\lambda$ が成り立ち、スペクトル正則性が保証された。
• 正規化された行列積 $\Phi_{[k,n]}(\lambda)\mathbf{1}/\|\cdot\|_1$ が極限 $\nu_k(\lambda)$ に収束することを示し、誤差バウンドが $O((1 - c_\lambda^4)^{n-k})$ であることを証明した。