[論文レビュー] Large N non-perturbative effects in $\mathcal{N}=4$ superconformal Chern-Simons theories

Yasuyuki Hatsuda, Masazumi Honda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 60被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、超対称性局在化とフェルミガス形式を用いて、$N=4$ 超共形 Chern-Simons 理論における大$N$非摂動的効果を調査する。2パラメータで変形された ABJMに類似したモデルにおいて、膜インスタントン補正と正確なワールドシートインスタントン寄与の解析的表現を導出し、元の ABJM 理論とは異なる明確な非摂動的構造を明らかにする。

ABSTRACT

We investigate the large $N$ instanton effects of partition functions in a class of $\mathcal{N}=4$ circular quiver Chern-Simons theories on a three-sphere. Our analysis is based on the supersymmetry localization and the Fermi-gas formalism. The resulting matrix model can be regarded as a two-parameter deformation of the ABJM matrix model, and has richer non-perturbative structures. Based on a systematic semi-classical analysis, we find analytic expressions of membrane instanton corrections. We also exactly compute the partition function for various cases and find some exact forms of worldsheet instanton corrections, which appear as quantum mechanical non-perturbative corrections in the Fermi-gas system.

研究の動機と目的

• $N=4$ 超共形 Chern-Simons 理論における非摂動的効果を ABJM 理論を超えて理解すること。
• ABJM 行列モデルの2パラメータ変形において、非摂動的インスタントン構造（膜インスタントンおよびワールドシートインスタントン）がどのように振る舞うかを調査すること。
• 正確な有限$N$分配関数計算を用いて、膜インスタントン補正の解析的形と正確なワールドシートインスタントン寄与を特定すること。
• 結合状態を示すインスタントンの役割と、変形モデルにおけるグランドポテンシャルの構造を調査すること。

提案手法

• 超対称性局在化を用いて、$S^3$ 上の$(p,q)$-モデルの分配関数を行列モデルに簡約する。
• フェルミガス形式を適用し、行列モデルを有効ハミルトニアンと分配関数を持つ量子力学的系に写像する。
• 小$ar{\hbar}$-展開からの膜インスタントン補正を抽出するための体系的な半古典的解析を実施する。
• 有限$N$分配関数の正確な計算を用いて、数値フィッティングによりワールドシートインスタントン補正を同定する。
• ガンマ関数および超幾何関数を含む特殊関数を用いて、インスタントン係数の解析的表現を導出する。
• 超幾何関数の適切な極限をとることで1インスタントン係数の形を予想・検証し、正確な結果と一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(p,q)$-モデルにおける膜インスタントン補正は、ABJM 理論におけるものとどのように異なるか？
• RQ2 変形された$ N=4$ Chern-Simons 理論におけるワールドシートインスタントン補正の解析的構造は何か？
• RQ3 この2パラメータモデルにおける大$N$極限でのグランドポテンシャルの非摂動的寄与はどのように振る舞うか？
• RQ4 正確な有限$N$結果から、膜およびワールドシートインスタントンの1インスタントン係数を解析的に導出可能か？
• RQ5 結合状態を示すインスタントンは、分配関数の非摂動的構造において果たす役割は何か？

主な発見

• $(p,q)$-モデルにおける膜インスタントン補正は、$q$ のガンマ関数を含む解析的関数として表現され、ABJM 理論における Gopakumar-Vafa 型の公式とは異なる。
• $(p,q,k)=(1,q,2)$ の場合、非摂動的グランドポテンシャルには$e^{-2m\bar{\mu}/q}$に比例する項が含まれ、$ar{\mu}$における多項式係数を有する。1インスタントン係数$b_1(q)$は$-1/(2\bar{\pi}^2) × \Gamma^2(-q)/[\cos(\pi q)\Gamma(-2q)]$として導出される。
• 有限$N$分配関数のフィッティングにより正確なワールドシートインスタントン補正が得られ、$(p,q)=(4,4)$ の場合、$J_{\text{np}}(\mu,1) = 16e^{-\mu/4} + \cdots$ の形と一致する。
• $k\to 2$ の極限をとる前に、$γ_1(q,k)$ の式における超幾何関数を再構成することで、1インスタントン係数$b_1(q)$が正しく再現される。
• $(p,q)=(4,6)$ の場合、非摂動的グランドポテンシャルには$16\sqrt{3}e^{-\mu/6} + \left[\frac{4(\mu+3)}{\sqrt{3}\pi} - 50\right]e^{-\mu/3}$のような項が含まれ、$μ$ における多項式依存性が確認される。
• ABJM よりも豊かな非摂動的構造を示しており、特徴的な膜インスタントン係数と、元の理論に存在しない新しいワールドシートインスタントン寄与が含まれる。