[論文レビュー] Lattice Gas Prediction is P-complete

Cristopher Moore, Mats G. Nordahl|ArXiv.org|Apr 17, 1997

Parallel Computing and Optimization Techniques参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限時間におけるHPPまたはFHP III格子気体オートマトンの予測がP完全であることを証明しており、これは、逐次コンピュータで解けるあらゆる問題と同程度に難しいことを意味する。著者らは、P = NC または P = SP でない限り、効率的な並列アルゴリズムが明示的シミュレーションを著しく上回ることは不可能であることを確立しており、格子気体力学に本質的な逐次的複雑性があることを示している。

ABSTRACT

We show that predicting the HPP or FHP III lattice gas for finite time is equivalent to calculating the output of an arbitrary Boolean circuit, and is therefore P-complete: that is, it is just as hard as any other problem solvable by a serial computer in polynomial time. It is widely believed in computer science that there are inherently sequential problems, for which parallel processing gives no significant speedup. Unless this is false, it is impossible even with highly parallel processing to predict lattice gases much faster than by explicit simulation. More precisely, we cannot predict t time-steps of a lattice gas in parallel computation time O(log^k t) for any k, or O(t^α) for α< 1/2, unless the class P is equal to the class NC or SP respectively.

研究の動機と目的

• 有限時間ステップにおける格子気体オートマトンの予測の計算複雑性を特定すること。
• 並列コンピューティングが明示的シミュレーションを上回って、格子気体予測を著しく高速化できるかどうかを評価すること。
• 格子気体予測が本質的に逐次的であり、著しい並列高速化が不可能であるかどうかを確立すること。
• 理論的計算複雑性理論における既知の複雑度クラス、特にP、NC、SPとの関係を明らかにすること。
• 格子気体の時間発展を予測することは、任意のブール回路の評価と同程度に難しいことを示すこと。

提案手法

• 任意のブール回路を格子気体の配置および時間発展に還元すること。
• ブール回路の計算を時間経過とともにシミュレートする格子気体オートマトン（HPPまたはFHP III）の構築。
• 回路の入力および論理ゲートを格子気体の粒子配置および衝突則にマッピングすること。
• tステップ後の格子気体状態の予測が、ブール回路の出力の計算と等価であることを形式的に証明すること。
• NC還元におけるP完全性を示すために、標準的な複雑度理論的還元を用いること。
• 計算複雑度分野の既知の結果を活用し、P = NC または P = SP でない限り、効率的な並列アルゴリズムが存在しないと結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限時間における格子気体オートマトンの状態を予測することは、Pに属するあらゆる問題を解くのと同等に計算的に困難であるか？
• RQ2 格子気体予測は効率的に並列化可能か、それとも本質的に逐次的であるか？
• RQ3 格子気体予測は、明示的シミュレーションを上回る多項式時間の並列アルゴリズムによって効率的に実行可能か？
• RQ4 格子気体予測と複雑度クラスPとの関係は何か？ また、NCおよびSPとはどのように関係しているか？
• RQ5 格子気体力学の予測は、任意のブール回路の評価に還元可能か？

主な発見

• 有限時間における格子気体予測はP完全である。これは、Pに属する問題の中で最も難しいものの一つであることを意味する。
• P = NC でない限り、tステップの格子気体予測をO(log^k t)の並列計算時間で行うことは不可能である。
• P = SP でない限り、O(t^α)時間（α < 1/2）で格子気体の時間発展を予測するアルゴリズムは存在しない。
• この結果は、明示的シミュレーションを上回る著しい並列高速化が、格子気体予測に対しては不可能であることを示している。
• 証明は、任意のブール回路を格子気体の配置および力学に還元する手法に依存している。
• HPPおよびFHP IIIの両方の格子気体モデルが、標準的な複雑度理論的還元のもとでP完全であることが示された。