[論文レビュー] Improved robustness of quantum supremacy for random circuit sampling

Yasuhiro Kondo, Ryuhei Mori+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、多項式階層が崩壊しないものと仮定すると、ランダム量子回路の出力確率を exp(−Ω(m log m)) の加法的誤差内で近似することは、BPP^NP 減少の下で #P 困難であることを証明することで、ランダム回路サンプリングにおける量子優位性のより強い複雑性理論的証拠を確立している。この結果は、定数深さや対数的深さを含むさまざまな回路深さにおいて成り立ち、誤差境界が次第に厳しくなる。

ABSTRACT

Motivated by the recent experimental demonstrations of quantum supremacy, proving the hardness of the output of random quantum circuits is an imperative near term goal. We prove under the complexity theoretical assumption of the non-collapse of the polynomial hierarchy that approximating the output probabilities of random quantum circuits to within $\exp(-\Omega(m\log m))$ additive error is hard for any classical computer, where $m$ is the number of gates in the quantum computation. More precisely, we show that the above problem is $\#\mathsf{P}$-hard under $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reduction. In the recent experiments, the quantum circuit has $n$-qubits and the architecture is a two-dimensional grid of size $\sqrt{n} imes\sqrt{n}$. Indeed for constant depth circuits approximating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log{n})}$ is hard. For circuits of depth $\log{n}$ or $\sqrt{n}$ for which the anti-concentration property holds, approximating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log^2{n})}$ and $2^{-\Omega(n^{3/2}\log n)}$ is hard respectively. We made an effort to find the best proofs and proved these results from first principles, which do not use the standard techniques such as the Berlekamp--Welch algorithm, the usual Paturi's lemma, and Rakhmanov's result.

研究の動機と目的

• 既存の結果を超えて、ランダム回路サンプリングにおける量子優位性のより強い複雑性理論的証拠を確立すること。
• 特定の加法的誤差内でランダム量子回路の出力確率を近似することが、古典的コンピュータにとって難しいことを証明すること。
• 定数深さや対数的深さを含む、さまざまな回路深さにおける近似誤差のタイトな境界を導出すること。
• ベルレカンプ–ウェルチやパトゥリの補題、ラフマノフの結果といった標準的手法に依存せずにこれらの結果を達成すること。
• 量子優位性の実証の理論的基盤を強化するため、第一原理からの証明を提供すること。

提案手法

• 多項式階層の崩壊がないという仮定に基づく複雑性理論的枠組みを用いて、困難性の結果を確立する。
• BPP^NP 減少を用いて、出力確率を exp(−Ω(m log m)) の加法的誤差内で近似することは #P 困難であることを示す。
• n 量子ビットをもつ 2D グリッドアーキテクチャ上のランダム量子回路を分析する。
• 反濃度性の性質を用いて、定数深さ、log n 深さ、√n 深さの各深さ領域における誤差境界を導出する。
• ベルレカンプ–ウェルチやパトゥリの補題といった古典的ツールに依存せずに、第一原理からの証明を構築する。
• 反濃度性の結果を適用して、出力確率が偏りすぎていないことを保証し、困難性の還元を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム量子回路の出力確率をどの程度の加法的誤差内で近似すると #P 困難になるか？
• RQ2 回路深さに応じて近似の困難さはどのように変化するか、特に定数深さおよび対数的深さ回路においては？
• RQ3 ベルレカンプ–ウェルチのような標準的な代数的技法に依存せずに、ランダム回路サンプリングの困難性結果を確立できるか？
• RQ4 反濃度性とランダム量子回路の出力確率近似の複雑性の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 近似の困難さにおける誤差境界は、回路内のゲート数および量子ビット数にどのように依存するか？

主な発見

• 多項式階層が崩壊しないものと仮定すると、ランダム量子回路の出力確率を exp(−Ω(m log m)) の加法的誤差内で近似することは、BPP^NP 減少の下で #P 困難である。
• 定数深さ回路では、出力確率を 2^−Ω(n log n) の誤差内で近似することは #P 困難である。
• 深さ log n の回路では、出力確率の近似問題は 2^−Ω(n log² n) の誤差内で #P 困難のままである。
• 深さ √n の回路では、出力確率の近似問題は 2^−Ω(n^{3/2} log n) の誤差内で #P 困難である。
• 結果はベルレカンプ–ウェルチやパトゥリの補題といった標準的手法に依存せず、第一原理から導出されている。
• 反濃度性の性質は、困難性の結果にとって不可欠であり、特に深さ log n および √n の領域で重要である。