[論文レビュー] Least action principles for incompressible flows and geodesics between shapes

Jian‐Guo Liu, Robert L. Pego+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最小作用原理を用いて、非圧縮性流体の流れと形状空間上の測地線の幾何的関係を確立し、最小化解が圧力と表面張力がゼロのポテンシャル流れに対応することを示している。主な結果は、作用の下界が Wasserstein 距離の二乗に等しく、古典的測地線は微小液滴の不安定性のため一般に存在しないが、弱解は非圧縮性 Euler スプライトの極限として現れ、緩和された二相混合系作用原理を最小化する。

ABSTRACT

As V. I. Arnold observed in the 1960s, the Euler equations of incompressible fluid flow correspond formally to geodesic equations in a group of volume-preserving diffeomorphisms. Working in an Eulerian framework, we study incompressible flows of shapes as critical paths for action (kinetic energy) along transport paths constrained to have characteristic-function densities. The formal geodesic equations for this problem are Euler equations for incompressible, inviscid potential flow of fluid with zero pressure and surface tension on the free boundary. The problem of minimizing this action exhibits an instability associated with microdroplet formation, with the following outcomes: Any two shapes of equal volume can be approximately connected by an Euler spray---a countable superposition of ellipsoidal geodesics. The infimum of the action is the Wasserstein distance squared, and is almost never attained except in dimension 1. Every Wasserstein geodesic between bounded densities of compact support provides a solution of the (compressible) pressureless Euler system that is a weak limit of (incompressible) Euler sprays. Each such Wasserstein geodesic is also the unique minimizer of a relaxed least-action principle for a two-fluid mixture theory corresponding to incompressible fluid mixed with vacuum.

研究の動機と目的

• Eulerian 框組みにおいて、特徴関数密度を用いた最小作用原理を用いて、非圧縮性流体の流れと形状空間上の測地線の関係を形式化すること。
• 微小液滴の形成による不安定性のため、特性関数密度に対する作用最小化問題が適切でない理由を分析すること。
• 作用の下界（形状距離）を Wasserstein 距離に関連づけ、弱解を非圧縮性 Euler スプライトの極限として特徴づけること。
• 二相混合モデルへの緩和により最小化解の存在を確立し、Wasserstein 測地線問題と同等であることを示すこと。
• 古典的非圧縮性解が存在しない場合でも、Wasserstein 測地線が緩和された最小作用原理の唯一の最小化解であることを示すこと。

提案手法

• 時間積分された運動エネルギーとして作用を定式化し、特徴関数密度で表される流体形状を表す経路に制約を課える。
• 非圧縮性・無粘性ポテンシャル流れで、自由境界上で圧力と表面張力がゼロである場合の Euler 方程式として測地線方程式を導出する。
• Benamou-Brenier 框組みを適用し、作用の下界が等積形状間の二乗 Wasserstein 距離に等しいことを示す。
• 二相混合モデルを用いた緩和された最小作用原理を導入し、密度の可変性を許容することで最小化解の存在を可能にする。
• Fenchel-Rockafellar 双対性および Legendre 変換を用いて、緩和された設定における最小化解の存在を証明し、それらを弱解に関連付ける。
• Wasserstein 測地線が非圧縮性 Euler スプライトの弱極限として現れ、緩和された作用の唯一の最小化解であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性流体の流れに関する最小作用原理を、特徴関数密度を用いた Eulerian 框組みで定式化できるか？
• RQ2 なぜ作用最小化問題が1次元を超える次元でその下界を達成しないのか？
• RQ3 作用の下界は、等積形状間の Wasserstein 距離とどのように関係しているか？
• RQ4 非圧縮性 Euler 方程式の弱解は、非圧縮性 Euler スプライトの極限として回復可能か？
• RQ5 古典的解が存在しない場合でも、Wasserstein 測地線を最小化解として回復する緩和された最小作用原理は存在するか？

主な発見

• 等積形状間の非圧縮性流れにおける作用の下界は、Wasserstein 距離の二乗に等しく、1次元を超える次元ではほとんど到達されない。
• 最小作用原理から導かれた測地線方程式は、圧力と表面張力がゼロの非圧縮性・無粘性ポテンシャル流れの Euler 方程式に対応する。
• 微小液滴の形成が不安定性を引き起こし、一般に d > 1 の場合、古典的測地線は存在しないが、Euler スプライト構成により任意の等積形状を近似的に接続可能である。
• コンパクトに台を持つ密度間の Wasserstein 測地線は、すべて非圧縮性 Euler スプライトの弱極限として現れる。
• Wasserstein 測地線は、1つの相が非圧縮性流体で、もう1つの相が真空中の二相混合モデルに対する緩和された最小作用原理の唯一の最小化解である。
• 緩和問題は Fenchel-Rockafellar 双対性により最小化解を有し、古典的解が存在しない場合でも、緩和された作用の下界は元の問題の下界と等しい。