[論文レビュー] Leavitt path algebras, $B_\infty$-algebras and Keller's conjecture for singular Hochschild cohomology

Xiao‐Wu Chen, Huanhuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 69被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ルービットパス代数のホッフシュィルドコチェイン複体と、それに対応するラジカル平方ゼロ代数の特異ホッフシュィルドコチェイン複体の間で、$B_\infty$-クasi-isomorphismを確立し、この文脈においてケラーの予想が特異ホッフシュィルドコhomologyに対して証明される。主な結果は、dg特異性カテゴリのホッフシュィルドコチェイン複体と、代数の特異ホッフシュィルドコチェイン複体との間で、$B_\infty$-代数のホモトピー圏内に同型が存在することを確認する。

ABSTRACT

For a finite quiver without sinks, we establish an isomorphism in the homotopy category $\mathrm {Ho}(B_\infty)$ of $B_{\infty}$-algebras between the Hochschild cochain complex of the Leavitt path algebra $L$ and the singular Hochschild cochain complex of the corresponding radical square zero algebra $Λ$. Combining this isomorphism with a description of the dg singularity category of $Λ$ in terms of the dg perfect derived category of $L$, we verify Keller's conjecture for the singular Hochschild cohomology of $Λ$. More precisely, we prove that there is an isomorphism in $\mathrm{Ho}(B_\infty)$ between the singular Hochschild cochain complex of $Λ$ and the Hochschild cochain complex of the dg singularity category of $Λ$. One ingredient of the proof is the following duality theorem on $B_\infty$-algebras: for any $B_\infty$-algebra, there is a natural $B_\infty$-isomorphism between its opposite $B_\infty$-algebra and its transpose $B_\infty$-algebra. We prove that Keller's conjecture is invariant under one-point (co)extensions and singular equivalences with levels. Consequently, Keller's conjecture holds for those algebras obtained inductively from $Λ$ by one-point (co)extensions and singular equivalences with levels. These algebras include all finite dimensional gentle algebras.

研究の動機と目的

• ルービットパス代数のホッフシュィルドコチェイン複体と、関連するラジカル平方ゼロ代数の特異ホッフシュィルドコチェイン複体との間で$B_\infty$-クasi-isomorphismを確立すること。
• dg特異性カテゴリのホッフシュィルドコチェイン複体と特異ホッフシュィルドコチェイン複体との間で、$B_\infty$-代数のホモトピー圏内に同型が存在することを示すことにより、ケラーの予想が特異ホッフシュィルドコhomologyに対して正当化されることを確認すること。
• 任意の$B_\infty$-代数に対して、その反転および転置$B_\infty$-代数が自然に同型であるという$B_\infty$-代数に関する双対性定理を証明すること。
• ケラーの予想が1点（余）拡張および特異的同値性（レベル付き）に関して不変であることを示し、これによりより広い代数のクラスへその有効性を拡張できることを示すこと。
• 上記の操作を用いて基本代数から帰納的に構成可能なすべての有限次元のジェントル代数に対して、その予想が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 相対的バー複体とホモトピー移行定理を用いて、ルービットパス代数のホモトピー変形リトラクトを構成する。
• 相対的コホモロジーを用いて特異ホッフシュィルドコチェイン複体を定義し、右特異複体にブラケット作用を導入する。
• クワイバーからのパスデータを用いた、ラジカル平方ゼロ代数の特異ホッフシュィルドコチェイン複体の組み合わせ的記述を利用する。
• 中間対象としてルービット$B_\infty$-代数を導入し、そのブラケット作用に明示的な再帰的公式を提示する。
• dg代数とそのモデルとの間で$A_\infty$-クasi-isomorphismを確立し、その後ブラケット作用を用いて$B_\infty$-準同型に持ち上げる。
• 符号の規約と、削減された複体内の要素についての成分ごとの計算を用いて、$B_\infty$-準同型の正当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルービットパス代数のホッフシュィルドコチェイン複体と、それに対応するラジカル平方ゼロ代数の特異ホッフシュィルドコチェイン複体との間に$B_\infty$-クasi-isomorphismが存在するか？
• RQ2 有限なクワイバーに sink が存在しない場合に生じるラジカル平方ゼロ代数の特異ホッフシュィルドコhomologyに対して、ケラーの予想は成り立つか？
• RQ3 任意の$B_\infty$-代数に対して、反転および転置$B_\infty$-代数の間の双対性を確立できるか？また、これは主な同型を支持する上でどのように寄与するか？
• RQ4 ケラーの予想は1点（余）拡張および特異的同値性（レベル付き）に関して不変であるか？そして、これによりより広い代数のクラスへ結果を拡張できるか？
• RQ5 dg特異性カテゴリのホッフシュィルドコチェイン複体と特異ホッフシュィルドコチェイン複体との間で、$B_\infty$-代数のホモトピー圏内に同型が成立するという関係は、ジェントル代数に対してどの程度まで成立するか？

主な発見

• ルービットパス代数のホッフシュィルドコチェイン複体と、それに対応するラジカル平方ゼロ代数の特異ホッフシュィルドコチェイン複体との間に、明示的な$B_\infty$-クasi-isomorphismが構成された。
• 双対性定理により、任意の$B_\infty$-代数の反転および転置$B_\infty$-代数が自然に同型であることが示された。
• ケラーの予想は、ラジカル平方ゼロ代数の特異ホッフシュィルドコhomologyに対して正当化され、dg特異性カテゴリのホッフシュィルドコチェイン複体と特異ホッフシュィルドコチェイン複体との間に$\mathrm{Ho}(B_\infty)$内に同型が存在することが確認された。
• 予想が1点（余）拡張および特異的同値性（レベル付き）に関して不変であることが示され、これにより上記の操作を経て得られる代数へも結果を拡張可能であることがわかった。
• すべての有限次元ジェントル代数は、上記の操作を用いて基本代数から帰納的に構成可能であるため、ケラーの予想が特異ホッフシュィルドコhomologyに対して成立することが確認された。
• 証明は、ルービット$B_\infty$-代数におけるブラケット作用の高次pre-Jacobi恒等式の検証に依拠しており、符号の正確な規約と成分ごとの計算により確認された。