[論文レビュー] Lectures on Conformal Field Theory

Joshua D. Qualls|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 94被引用数 25

ひとこと要約

これらの講義ノートは、コンformal symmetry や conformal algebra といった基礎的概念から、conformal bootstrap や modular invariance に至るまで、多様な次元における conformal field theory (CFT) の包括的な紹介を提供する。本研究は、radial quantization、state-operator correspondence、unitarity bounds に焦点を当て、特に conformal bootstrap プログラムおよび臨界現象の文脈における現代の CFT 研究に必要なツールを研究者に提供することを目的としている。

ABSTRACT

These lectures notes are based on courses given at National Taiwan University, National Chiao-Tung University, and National Tsing Hua University in the spring term of 2015. Although the course was offered primarily for graduate students, these lecture notes have been prepared for a more general audience. They are intended as an introduction to conformal field theories in various dimensions, with applications related to topics of particular interest: topics include the conformal bootstrap program, boundary conformal field theory, and applications related to the AdS/CFT correspondence. We assume the reader to be familiar with quantum mechanics at the graduate level and to have some basic knowledge of quantum field theory. Familiarity with string theory is not a prerequisite for this lectures, although it can only help.

研究の動機と目的

• 院生および分野に初めて入門する研究者を対象に、自己完結的でアクセス可能な conformal field theory の入門を提供すること。
• 基本的な量子場理論と、特に conformal bootstrap プログラムを含む CFT の最新研究トピックとの間のギャップを埋めること。
• 臨界現象や量子重力双対性を研究するために不可欠な技術的ツール（radial quantization、OPE、modular invariance など）を読者に提供すること。
• スケーリングと conformal invariance の関係や、4次元 CFT における異常が果たす役割を含む、CFT における未解決問題を浮き彫りにすること。
• AdS/CFT 対応、W代数、minimal models といった高度なトピックに備えるために、基礎的な演習と概念の明確化を通じて読者を準備すること。

提案手法

• 無限小の conformal 変換と conformal algebra を用いて、d > 2次元における CFT を体系的に展開する。
• CFT における状態と演算子の関係を結ぶ中心的ツールとして、radial quantization と state-operator correspondence を導入する。
• 2次元 CFT を、Witt 代数と Virasoro 代数、primary fields、および演算子積展開 (OPE) を用いて分析し、unitarity 制約のための Kac 行列式を含む。
• トーラス上の modular invariance を適用して、分配関数にかかる制約を導出し、特定の状況で Verlinde 公式を導出する。
• 高次元相関関数における OPE の交差対称性と結合性を強制することで、conformal bootstrap プログラムを調査する。
• c-theorem と a-theorem を用いて、renormalization group フローと異常を分析し、特に Weyl および Euler トレーステンソル不変量を用いて 4次元で検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場理論において、スケーリング不変性がいつ conformal 不変性を含むのか？
• RQ2 modular invariance とトーラス上の分配関数は、2次元 CFT のスペクトルにどのような制約を課えるか？
• RQ3 Kac 行列式は、2次元 CFT における unitarity にどのような意味を持つのか？
• RQ4 conformal bootstrap プログラムは、高次元相関関数における演算子次元と OPE 係数にどのような制限を課えるか？
• RQ5 異常、特にトレース異常は 4次元 CFT においてどのような役割を果たし、Weyl トランスポジションや曲率不変量（Weyl テンソルなど）とどのように関係するか？

主な発見

• d ≠ 4 次元では、自由 Maxwell 理論はスケーリング不変であるが、そのエネルギー運動量テンソルのトレースがゼロでないため、conformal 不変ではない。このトレースは発散として書けない。
• d = 3 では、Maxwell 場を自由スカラー場の従属状態として実現でき、これにより unitary かつ conformal な CFT を構成可能であり、元の非 conformal 理論がその部分理論として含まれる。
• d ≥ 5 では、Maxwell 場がその従属状態となるような unitary 場を構成することは不可能であり、スケーリング次元における unitarity 界の違反が原因である。
• 4次元 CFT におけるトレース異常は Weyl および Euler トランスポジションを用いて表現可能であり、Weyl スケーリング下での変換性から、これらが conformal 不変な曲率不変量としての役割を果たすことが確認できる。
• 2次元 CFT における modular bootstrap 論法により、スレートの最低次元に対する上界が得られ、中央電荷 c > 1 の場合に非自明な制約が得られる。
• 6点関数における交差対称性は、OPE の結合性から自然に導かれるため、bootstrap 方程式の背後には図式的構造が存在することが示唆される。