[論文レビュー] Lefschetz trace formula and l-adic cohomology of Lubin-Tate tower

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Lefschetzのトレース公式を用いて、Lubin-Tate塔の$ι$-adicコホロジーを再解釈し、$D^\times$の無限可微分的表現$\rho$に対する、仮想表現$H_{\mathrm{LT}}$の$ρ$-等長成分に注目する。$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$のグローテンディーク群における像が、$(-1)^{d-1}d[\mathrm{JL}(\rho)]$に一致することを証明し、局所Jacquet-Langlands対応への精密な関係を確立するとともに、超臨界表現を超える結果を拡張する。

ABSTRACT

In this article, we investigate the alternating sum of the l-adic cohomology of the Lubin-Tate tower by the Lefschetz trace formula. Our method gives slightly stronger results than in the preceding work of Strauch.

研究の動機と目的

• StrauchのLubin-Tate塔に関する表現論的結果の再導出を、$\mathrm{GL}_d(F)$-超臨界表現ではなく、$D^\times$-表現を中心とした双対的視点を用いて行う。
• 一般の$D^\times$上の無限可微分的表現$\rho$に対する$\rho$-等長成分を分析することで、Lubin-Tate塔の$\ell$-adicコホロジーの理解を、超臨界表現を超えて拡張する。
• 局所調和解析と軌道積分の転送を用いて、$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の分布的特徴関数と$\rho$の特徴関数の間の明確な特徴関数的関係を確立する。
• グローテンディーク群$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$における$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の像が、ちょうど$(-1)^{d-1}d[\mathrm{JL}(\rho)]$に一致することを証明し、コホロジーにおける局所Jacquet-Langlands対応を確認する。

提案手法

• Lefschetzのトレース公式を用いて、$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の分布的特徴関数を局所調和解析における軌道積分と転送写像と関連付ける。
• $H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の特徴関数が、$\mathrm{GL}_d(F)$内の楕円的正則元の集合上で、$\rho$の特徴関数と密接に関連した局所定数関数$\theta_\rho$で与えられることを確立する。
• 軌道積分の転送を適用して、$\mathrm{GL}_d(F)$と$D^\times$上の分布を比較し、コホロロジー的設定における特徴関数の比較を可能にする。
• $D^\times / \varpi^\mathbb{Z}$のコンパクト群における特徴関数の直交性を用いて、$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$における$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の像における$\mathrm{JL}(\rho)$の正確な係数$(-1)^{d-1}d$を導出する。
• グローテンディーク群$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$の構造と、$\mathrm{JL}: R(D^\times) \xrightarrow{\sim} \overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$の同型を用いて、コホロロジー的結果を解釈する。
• $[Mie10b]$と$[Dat07]$の結果を組み合わせることで、$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$に現れるのは、$\mathrm{JL}(\rho)$と同じカスプ的補足を持つ離散的系列表現に限られることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\rho$-等長成分$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$は、$D^\times$における局所Jacquet-Langlands対応とどのように関係するか？
• RQ2 超臨界表現のコンパクト誘導記述に依存せずに、Lefschetzのトレース公式を用いて$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の特徴関数的情報が得られるか？
• RQ3 $\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$における$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の正確な像は何か、パラボリック誘導を modulo として考える。
• RQ4 この手法は非超臨界表現$\mathrm{GL}_d(F)$へも拡張可能か？ もしそうなら、それらはどのようにコホロジーに実現されるか？
• RQ5 楕円的正則元の集合上で、$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$と$\rho$の分布的特徴関数はどのように関係するか？

主な発見

• グローテンディーク群$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$における$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の像は、ちょうど$(-1)^{d-1}d[\mathrm{JL}(\rho)]$に一致する。これは、コホロジーが重複度$d$でJacquet-Langlands対応を実現することを証明する。
• $\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$における$\mathrm{JL}(\rho)$の係数が非ゼロであるため、$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$は非自明である。
• もし無限可微分的楕円的表現$\pi$が$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$に現れるならば、そのカスプ的補足は$\mathrm{JL}(\rho)$と同じでなければならない。これは$\pi = \mathrm{JL}(\rho)$を意味する。
• 超臨界表現$\pi$が$\varpi^\mathbb{Z}$上で自明である$\mathrm{GL}_d(F)$のものであれば、$\pi$-等長成分$H^{d-1}_{\mathrm{LT}}[\pi]$は$\rho^{\oplus d}$に同型であり、ここで$\rho = \mathrm{JL}^{-1}(\pi)$である。
• $\mathrm{GL}_d(F)$内の楕円的正則元の集合上で、$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$の分布的特徴関数は、局所定数関数$\theta_\rho$で与えられ、これは$\rho$の特徴関数と直接関係している。
• Harish-Chandraの特徴関数論に依存せず、代わりに軌道積分の転送を用いることで、より一般かつ柔軟なアプローチが可能となり、他のRapoport-Zink空間へも適用可能である。