[論文レビュー] On the p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower

Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Lubin-Tate塔のp進コホロロジーを介して、$\mathrm{GL}_n(F)$の適切なp進表現から、$\mathrm{Gal}_F \times D^\times$の適切なp進表現への標準的関手を確立する。ここで$D$は不変量$1/n$の中心的除法代数である。主な結果は、$\mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}$上の関連層のコホロロジーの有限性およびガロア不変性であり、これは局所p進Langlands対応を実現し、Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shinのパッチング構成と局所-グローバル整合性を裏付ける。

ABSTRACT

We prove a finiteness result for the p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower. For any n>=1 and p-adic field F, this provides a canonical functor from admissible p-adic representations of GL_n(F) towards admissible p-adic representations of Gal_F x D^*, where Gal_F is the absolute Galois group of F, and D/F is the central division algebra of invariant 1/n. Moreover, we verify a local-global-compatibility statement for this correspondence, and compatibility with the patching construction of Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shin.

研究の動機と目的

• GL_n(F)の適切なp進表現から、Lubin-Tate塔のp進コホロロジーを介して、Gal_F \times D^\timesの適切なp進表現への標準的関手を構成すること。
• この対応とCaraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shinのグローバルパッチング構成との間の局所-グローバル整合性を確立すること。
• コホロロジー群が適切であり、Weil群作用を連続的に拡張するガロア作用を持つことを確認すること。
• GL_2(\mathbb{Q}_p)を超える範囲でp進局所Langlands対応の証拠を提供し、p進Jacquet-Langlands対応を含むこと。
• Rapoport-Zink空間および周期領域の文脈において、Lubin-Tate塔の幾何学的・表現論的構造とその周期写像を明確にすること。

提案手法

• F_p-ベクトル空間上の滑らかなGL_n(F)-表現\piから、\mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}上のWeil-equivariantな層\mathcal{F}_\piを構成する。
• Gross-Hopkins周期写像\pi_{\mathrm{GH}}: \mathcal{M}_{\mathrm{LT},\infty} \to \mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}を用いて、\mathcal{F}_\piをLubin-Tate塔の逆極限に引き戻す。
• 固有なrigid-analytic空間の\acute{e}taleコホロロジーに関する有限性結果を適用し、H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_C, \mathcal{F}_\pi)が有限次元であり、i > 2(n-1)では消えることを示す。
• コホロロジー群がD^\times-作用に関して適切であり、Weil降下データを介してGal_F-作用に連続的に拡張できることを確立する。
• \mathbb{P}^{n-1}の固有性と周期写像の上への性質を用いて、コホロロジーの有限性を保証する。
• Rapoportによるアクセシブルおよび弱アクセシブル周期領域の理論（付録）を用いて、周期領域の構造とクリスタル周期写像による像を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lubin-Tate塔のp進コホロロジーは、GL_n(F)-表現からGal_F \times D^\times-表現への標準的関手をもたらすか？
• RQ2 得られるコホロロジーは適切であり、Weil群作用を連続的に拡張するガロア作用と整合するか？
• RQ3 この構成は、Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shinのグローバルパッチング構成と局所-グローバル整合性を満たすか？
• RQ4 この構成は、GL_n(F)とD^\times-表現の間のp進Jacquet-Langlands対応と解釈できるか？
• RQ5 クリスタル周期写像の像が周期領域における適切な局所に一致するのはどのような条件下か？

主な発見

• コホロロジー群H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_C, \mathcal{F}_\pi)は、\breve{F}の代数的閉包かつ完備な拡張Cの選び方に依存せず、i > 2(n-1)では消える。
• すべてのi \geq 0に対して、コホロロジーH^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{C}_p}, \mathcal{F}_\pi)はD^\times-表現として適切である。
• Weil群W_Fのコホロロジーへの作用は、絶対ガロア群\mathrm{Gal}_Fへの作用に連続的に拡張できる。
• この構成により、GL_n(F)-表現からGal_F \times D^\times-表現への標準的関手が得られ、p進局所Langlands対応を実現する。
• この対応はパッチング構成と整合する：n=2の場合、Corollary 9.3で示されるように、パッチング構成とこの関手を合成すると元のガロア表現が回復する。
• 局所Shimura多様体がEL型またはPEL型のRZ空間から生じるとき、クリスタル周期写像の像は適切な局所\mathcal{F}(G,b,\{\mu\})^{\rm a}に一致する。