[論文レビュー] Levi-Civita Ricci-flat metrics on compact complex manifolds

Jie He, Kefeng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Levi-Civita リッチ平坦なヘルミート計量を許容するコンpakト複素曲面を分類し、それがKähler Calabi-Yau曲面（エンリケス、双楕円、K3、2-トーラス）またはホフ曲面であることを証明する。ホフ曲面のタイプ1に対しては、共形法と関数解析を用いて、Levi-Civita リッチ平坦計量を明示的に構成し、チェーン接続とは異なる、Levi-Civita 接続に基づく新規な手法により、非Kähler Calabi-Yau計量の存在を示している。

ABSTRACT

In this paper, we study the geometry of compact complex manifolds with Levi-Civita Ricci-flat metrics and prove that compact complex surfaces admitting Levi-Civita Ricci-flat metrics are Kahler Calabi-Yau surfaces or Hopf surfaces.

研究の動機と目的

• Levi-Civita リッチ平坦なヘリミート計量を許容するコンパクト複素曲面を分類すること。
• 非Kähler複素幾何におけるLevi-Civita リッチ平坦性とチェーン リッチ平坦性の幾何的差異を調査すること。
• 特にホフ曲面のような非Kähler多様体に対して、Levi-Civita リッチ平坦計量の明示的例を構成すること。
• 第一Aeppli-Chern類とLevi-Civita リッチ曲率が非Kähler Calabi-Yau幾何において果たす役割を明確化すること。

提案手法

• ホロモーラル接続 bundle におけるLevi-Civita 接続を用いて、第一Aeppli-Chern類の代表元としてLevi-Civita リッチ曲率を定義する。
• 共形法と関数解析を適用し、非楕円型かつ非Monge-Ampère型の方程式であるLevi-Civita リッチ平坦性のための式 $\mathfrak{Ric}(\omega) = \frac{1}{2}(\partial\partial^*\omega + \overline{\partial}\overline{\partial}^*\omega)$ を解く。
• パラメータ $\lambda$ と関数 $\Phi$ を用いた共形因子により、ホフ曲面上の1パラメータ族のヘリミート計量 $\omega_\lambda$ を構成し、$\partial^*\omega_\lambda = \frac{\sqrt{-1}}{1+\lambda}\overline{\partial}\log\Phi$ を示す。
• Levi-Civita リッチ曲率の公式 $\mathfrak{Ric}(\omega_\lambda) = \left(2 - \frac{1}{1+\lambda}\right)\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\Phi + 3\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\Delta$ を導出する。
• $\lambda = -\frac{1}{2}$ を選択して $\log\Phi$ 項を消去し、$\mathfrak{Ric}(\omega_{-1/2}) = 3\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\Delta$ を得る。その後、$\Delta^3$ によるスケーリングにより $\mathfrak{Ric}(\omega) = 0$ を達成する。
• 計量および逆計量成分の明示的行列計算を実施し、Christoffel 記号を用いて $\partial^*$ と $\overline{\partial}^*$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのコンパクト複素曲面がLevi-Civita リッチ平坦なヘリミート計量を許容するか？
• RQ2 非Kähler幾何において、Levi-Civita リッチ平坦性はチェーン リッチ平坦性とどのように異なるか？
• RQ3 ホフ曲面のような非Kähler Calabi-Yau多様体に対して、明示的なLevi-Civita リッチ平坦計量を構成できるか？
• RQ4 第一チェーン類とAeppli-Chern類がともに自明であるにもかかわらず、コーディア曲面がLevi-Civita リッチ平坦計量を許容しないのはなぜか？
• RQ5 すべてのホフ曲面がLevi-Civita リッチ平坦計量を許容するのか、それともタイプ1に限るのか？

主な発見

• Levi-Civita リッチ平坦計量を許容するコンパクト複素曲面は最小的であり、5つのクラスに分類される：エンリケス、双楕円、K3、2-トーラス、ホフ曲面。
• Kähler Calabi-Yau曲面（エンリケス、双楕円、K3、2-トーラス）は、ヤウの定理に一致して、Levi-Civita リッチ平坦計量を許容する。
• タイプ1のホフ曲面は、関数 $\Phi$ とパラメータ $\lambda = -1/2$ を用いたヘリミート計量の共形変形により、明示的なLevi-Civita リッチ平坦計量を持つ。
• 構成された計量 $\omega = \Delta^3 \omega_{-1/2}$ は $\mathfrak{Ric}(\omega) = 0$ を満たし、Levi-Civita リッチ平坦性が確認される。
• コーディア曲面は $c_1^{\mathrm{BC}} = c_1^{\mathrm{AC}} = 0$ を満たすにもかかわらず、Levi-Civita リッチ平坦計量を許容しない。これはチェーン リッチ平坦性とは顕著に異なる点を示している。
• 本稿は、すべてのホフ曲面がLevi-Civita リッチ平坦計量を許容すると予想しているが、実際に明示的に構成されたのはタイプ1に限る。