[論文レビュー] Lieb-Schultz-Mattis theorems for symmetry protected topological phases

Yuan-Ming Lu|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Topological Materials and PhenomenaPhysics and Astronomy参考文献 1被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、2次元系において格子並進対称性を磁気並進対称性に置き換えることで、対称性保護型トップولوجical（SPT）相に対するLieb-Schultz-Mattisの定理の新しいクラスを確立している。特にフェルミオン系では単位格子あたり奇数個のメジャナ零モード、ボソン系では時間反転対称性と分数化した任意Anyonを有する場合に、一意的で対称的かつギャップのある短距離もつれ状態は不可能であり、代わりに頑健なギャップなしエッジモードを有するトポロジカル相でなければならないことを証明している。これにより、相互作用する量子系におけるSPT秩序の同定に一般化された枠組みが提供される。

ABSTRACT

The Lieb-Schultz-Mattis (LSM) theorem and its descendants represent a class of powerful no-go theorems that rule out any short-range-entangled (SRE) symmetric ground state irrespective of the specific Hamiltonian, based only on certain microscopic inputs such as symmetries and particle filling numbers. In this work, we introduce and prove a new class of LSM-type theorems, where any symmetry-allowed SRE ground state must be a symmetry-protected topological (SPT) phase with robust gapless edge states. The key ingredient is to replace the lattice translation symmetry in usual LSM theorems by magnetic translation symmetry. These theorems provide new insights into numerical models and experimental realizations of SPT phases in interacting bosons and fermions.

研究の動機と目的

• 従来の格子並進対称性にとどまらず、磁気並進対称性を含めたLieb-Schultz-Mattis（LSM）定理の枠組みを拡張すること。
• 特定の密度および対称性条件を満たす2次元系において、対称的かつ短距離もつれ状態（SRE）でギャップのある基底状態が存在しないことを示す厳密な否定定理を確立すること。
• このような系が、頑健なギャップなしエッジ状態を有する対称性保護型トップولوجical（SPT）相でなければならないことを示すこと。
• 特に数値的および実験的に実現可能なモデルにおいて、相互作用するフェルミオンおよびボソン系におけるSPT秩序の同定に理論的基盤を提供すること。
• 非相互作用系と強相関系におけるSPT相の理解を、対称性保護型トポロジカル制約を通じて統一すること。

提案手法

• LSM定理における標準的な格子並進対称性を、1格子素子あたり磁束 $\phi = 2\pi p/q$ を持つ磁気並進対称性に置き換える。
• 磁気並進代数 $\tilde{T}_1 \tilde{T}_2 \tilde{T}_1^{-1} \tilde{T}_2^{-1} = e^{i\phi \hat{F}}$ を用い、$\hat{F}$ は全フェルミオン数演算子を表す。
• ねじれ境界条件および磁束挿入法を用いて、基底状態の対称性変換に対する応答を調べる。
• 円筒上での基底状態のスミット分解を用いて、もつれ固有状態の対称性量子数を分析する。
• 時間反転および電荷対称性の下でのスミット状態の変換性を分析し、トポロジカルポンピングおよびエッジモード形成を検出する。
• 境界条件を $\pi$ 磁束分だけ変化させると、対称性量子数がずれることが証明され、これはクライマー二重項または任意Anyon励起のポンピングを示しており、非自明なSPT相にのみ整合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁気並進対称性（$\phi = \pi$）が存在する2次元フェルミオン系で、単位格子あたり奇数個のメジャナ零モードを有する場合、一意的で対称的かつギャップのある短距離もつれ状態は存在可能か？
• RQ2 磁気並進対称性は、相互作用するフェルミオン系およびボソン系におけるSRE対称基底状態の存在にどのような制約を課えるか？
• RQ3 分数化した密度、時間反転対称性、および磁束の相互作用が、どのようにトポロジカル秩序の出現を引き起こすか？
• RQ4 $\pi$ 磁束挿入が、非自明なSPT相を示すトポロジカル応答をどのように誘発するか？
• RQ5 ギャップなしエッジモードを保護するという点で、並進対称性を超えて磁気並進対称性を含めたLSM定理を一般化することは可能か？

主な発見

• 磁気並進対称性（$\phi = \pi$）が存在する2次元フェルミオン系では、単位格子あたり奇数個のメジャナ零モードを有する場合、一意的で対称的かつギャップのあるSRE基底状態は禁止される。
• 系は $\nu = $ 奇数のトポロジカル超伝導体（クラスD）に他ならない。これは、中央電荷 $c_- = \nu/2$ を有するヘリカルメジャナエッジモードを有する必要があるというトポロジカル指数の要請に従う。
• 時間反転対称性と $\phi = \pi$ 磁束を有する系では、一意的でギャップのある対称基底状態は存在できず、このようなSRE状態の存在を否定する定理が証明される。
• $\pi$ 磁束挿入により、円筒上をクライマー二重項がポンピングされる。これはボソン系においてはBQSH（双子量子スピンホール）相にのみ整合する。
• 奇数長の円筒上での $\pi$ 磁束挿入により、スミット固有状態の対称性が符号反転する。これはトポロジカルポンピングを示しており、非自明なSPT相の存在を確認する。
• U(1)対称性が離散的 $Z_2$ 部分群に低下しても、時間反転対称性が保たれていれば、結果は成り立つ。これは、SPT分類が対称性破れに対しても頑健であることを示している。