[論文レビュー] Limits of subcritical random graphs and random graphs with excluded minors

Agelos Georgakopoulos, Stephan Wagner|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、cacti、outerplanar、series-parallelなどの部分的家族に属する一様にランダムなラベル付きおよびラベルなしグラフについて、無限次数の極限対象を許容する、可算根付きグラフの空間のコンパクト化を導入することで、ほぼ確実なBenjamini-Schramm収束を確立する。主な貢献は、高次元の頂点が現れるマイナー閉じた家族において、すべてのランダムグラフ列が収束する部分列を有することを保証する一般化された収束概念の導入であり、古典的なBS収束を高次元頂点を扱えるように拡張したものである。

ABSTRACT

We prove local convergence results for the uniformly random, labelled or unlabelled, graphs from subcritical families. As an example special case, we prove Benjamini-Schramm convergence for the uniform random unlabelled tree. We introduce a compactification of the space of countable (connected) rooted graphs, and use it to generalise the notion of Benjamini-Schramm convergence in order to allow for vertices of infinite degree in the limit object.

研究の動機と目的

• 部分的家族に属する一様にランダムなラベル付きおよびラベルなしグラフについて、ほぼ確実なBenjamini-Schramm収束を確立すること。
• 高次元頂点が根の近傍に現れるマイナー閉じた家族において、標準的なBS収束が失敗する理由を解明すること。
• 可算根付きグラフの同型類の空間に、無限次数の頂点を有する極限対象を許容するコンパクト化を導入すること。
• 局所的に有限でないグラフへと収束概念を一般化し、すべてのこのような列に対してコンパクト性と部分列収束を保証すること。
• すべてのマイナー閉じた家族から一様にランダムに生成されたグラフが、この一般化された枠組みにおいて収束するという予想を提示すること。

提案手法

• 可算根付きグラフの同型類に定義された距離 $ d $ を導入し、$ d(G,H) = 0 $ が成り立つのは $ G $ と $ H $ が任意の有限半径まで同型な近傍を持つときである。
• 有限根付きグラフの空間の完備化 $ (bG^*, d) $ を構成し、それが完備かつ完全有界であることを示し、したがってコンパクトであることを証明する。
• 空間 $ bG^* $ 上の確率測度の弱位相を定義し、コンパクト性を活用して、すべてのランダムグラフ列が収束する部分列を有することを保証する。
• 根付きグラフ $ G $ のコア構成 $ C(G) $ を、地面の階と最初の階の頂点からなる部分グラフとして定義し、$ d=0 $ 同値類の標準的代表元を特定する。
• 部分的家族において、$ n $ 頂点の均等にランダムなグラフ列が、この一般化された意味でほとんど確実に収束することを証明する。
• 無限星構造に類似したコア構造を有するランダム根付きグラフとして、無標識木の極限対象を特定し、木の極限を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様にランダムな無標識木はBenjamini-Schrammの意味で収束するか？ もし収束するならば、その極限は何か？
• RQ2 無限次数の頂点を有する極限対象を許容するように、Benjamini-Schramm収束を一般化できるか？
• RQ3 なぜ標準的なBS収束は、apex森林のような特定のマイナー閉じた家族では失敗するのか？ そして、その問題はどのように是正できるか？
• RQ4 マイナー閉じた家族から生成されるすべてのランダムグラフ列は、一般化された収束枠組みのもとで、部分列収束が保証されるか？
• RQ5 根付きグラフのコアは、コンパクト化された空間における $ d=0 $ 同値類の標準的代表元として機能するか？

主な発見

• 任意の部分的家族に属する一様にランダムなラベル付き連結グラフ列は、ほぼ確実にBenjamini-Schrammの意味で収束し、極限対象は木構造を有するランダム根付きグラフである。
• 一様にランダムな無標識木は、ほぼ確実に一般化されたBenjamini-Schrammの意味で収束し、Stuflerによって独立に得られた結果を確認する。
• 可算根付きグラフの同型類の空間 $ (bG^*, d) $ はコンパクトであり、すべてのランダムグラフ列が収束する部分列を有することを保証する。
• 無標識グラフにおいて、非根付きグラフのBS極限と根付きグラフの弱極限は異なり、収束行動における構造的差を示している。
• $ d=0 $ 同値類に属するすべてのグラフにおいて、根付きグラフのコア $ C(G) $ は同型であるため、極限対象の標準的代表元を提供する。
• 一般化された収束枠組みにより、無限次数の頂点を有する極限が許容され、apex森林のような家族における標準的BS収束の失敗が解消される。