[論文レビュー] Local And 2-Local Derivations On Algebras Of Measurable Operators

Shavkat Ayupov, Karimbergen Kudaybergenov|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、フォン・ノイマン代数に付随する可測作用素代数上の導分、局所的導分、および2-局所的導分を調査する。有限型Iフォン・ノイマン代数にアーベルな直和成分を含まない場合および型I∞代数において、すべての2-局所的導分が自動的に導分であることを確立する一方で、可換な設定において2-局所的導分が導分でない例も提示する。

ABSTRACT

The present paper presents a survey of some recent results devoted to derivations, local derivations and 2-local derivations on various algebras of measurable operators affiliated with von Neumann algebras. We give a complete description of derivation on these algebras, except the case where the von Neumann algebra is of type II$_1$. In the latter case the result is obtained under an extra condition of measure continuity of derivations. Local and 2-local derivations on the above algebras are also considered. We give sufficient conditions on a von Neumann algebra $M$, under which every local or 2-local derivation on the algebra of measurable operators affiliated with $M$ is automatically becomes a derivation. We also give examples of commutative algebras of measurable operators admitting local and 2-local derivations which are not derivations.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマン代数に付随する可測作用素代数上の導分、局所的導分、および2-局所的導分を特徴付けること。
• このような代数上の2-局所的導分が必ず導分である条件を特定すること。
• 特に可換な設定において2-局所的導分が導分でない場合を特定すること。
• 有界作用素から無限大可測作用素代数への2-局所的導分に関する結果を拡張すること。
• 測度連続性および型分類（例：型II₁）が導分の構造に果たす役割を検討すること。

提案手法

• フォン・ノイマン代数に付随する可測作用素代数上の導分を、型（I、II₁、I∞）ごとに区別して分析する。
• 型I∞代数では、局所的に可測な作用素および拡張された中心値トレースΦの概念を用いる。
• LS(M)内の有限範囲作用素に対して、恒等式Φ(Δ(x)y) = -Φ(xΔ(y))を用いて、2-局所的導分が導分であることを証明する。
• 行列単位e_ijへの分解を通じて、可換な正則代数𝒜上の行列代数M_n(𝒜)における2-局所的導分が導分であることを示す構造的補題を用いる。
• 投影格子が原子的でないアーベルフォン・ノイマン代数において、導分でない2-局所的導分の反例を構成する。
• 行列単位e_ijへの分解を通じて、中心および行列成分における導分の研究に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォン・ノイマン代数Mに対して、S(M)上のすべての2-局所的導分が必ず導分であるための条件は何か？
• RQ2 可換な可測作用素代数上で2-局所的導分が導分でないことがあるか。もしあるならば、どのような条件下か？
• RQ3 フォン・ノイマン代数の型（例：型I、I∞、II₁）は、導分および2-局所的導分の構造にどのように影響するか？
• RQ4 測度連続性は、型II₁代数における導分の自動的導分性にどのような役割を果たすか？
• RQ5 Mがアーベルな直和成分を含まない有限型Iフォン・ノイマン代数であるとき、LS(M)上のすべての2-局所的導分は導分であるか？

主な発見

• アーベルな直和成分を含まない有限型Iフォン・ノイマン代数Mに対して、付随する可測作用素代数LS(M) = S(M)上のすべての2-局所的導分は導分である。
• 型I∞フォン・ノイマン代数Mの可測作用素代数LS(M)上で、拡張された中心値トレースおよび重要なトレース恒等式を用いることで、すべての2-局所的導分が導分であることが示された。
• n ≥ 2 に対して可換な正則代数𝒜上の行列代数M_n(𝒜)において、すべての2-局所的導分は導分である。これは、行列単位および中心への制限に関する構造的補題による。
• アーベルの場合、もし投影格子P(M)が原子的でないならば、S(M)は導分でない2-局所的導分を含む。
• Mが型I∞であるとき、LS(M)の*-部分代数𝒞にMを含む2-局所的導分Δは、トレースに基づく恒等式によって導分であることが示された。
• 本稿では、測度連続性が要求される型II₁を除き、すべてのフォン・ノイマン代数の型について、可測作用素代数上の導分の完全な記述が与えられている。