[論文レビュー] Local martingale deflators for asset processes stopped at a default time $S^ au$ or right before $S^{ au-}$

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、資産価格がデフォルト時刻 τ の直前に停止する段階的フィルトレーション拡大フレームワークにおいて、局所マルティンゲールデフレーターの存在に必要な十分条件を確立する。著者たちはアゼマのスーパーマルティンゲールとその予測可能乗法的分解を活用し、アゼマのスーパーマルティンゲールの予測可能乗法的マルティンゲール部 L の逆数に比例する要因を用いて、Sτ– に対する G-局所マルティンゲールデフレーターを構成する。これは、デフォルトリスク下でのカウンターパartyリスクおよびファウンディングコストに関する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}\subset \mathbb{G}$ be two filtrations and $S$ be a $\mathbb{F}$ semimartingale possessing a $\mathbb{F}$ local martingale deflator. Consider $ au$ a $\mathbb{G}$ stopping time. We study the problem whether $S^{ au-}$ or $S^{ au}$ can have $\mathbb{G}$ local martingale deflators. A suitable theoretical framework is set up in this paper, within which necessary/sufficient conditions for the problem to be solved have been proved. Under these conditions, we will construct $\mathbb{G}$ local martingale deflators for $S^{ au-}$ or for $S^{ au}$. Among others, it is proved that $\mathbb{G}$ local martingale deflators are multiples of $\mathbb{F}$ local martingale deflators, with a multiplicator coming from the multiplicative decomposition of the Az\'ema supermartingale of $ au$. The proofs of the necessary/sufficient conditions require various results to be established about Az\'ema supermartingale, about local martingale deflator, about filtration enlargement, which are interesting in themselves. Our study is based on a filtration enlargement setting. For applications, it is important to have a method to infer the existence of such setting from the knowledge of the market information. This question is discussed at the end of the paper.

研究の動機と目的

• 『条件 (A)』技法を、確率測度の変更ではなく局所マルティンゲールデフレーターの変更を用いることで、[6, 7] のフレームワークをより広いモデルに一般化すること。
• S が F-半マルティンゲールであり、F-局所マルティンゲールデフレーターを持つと仮定したもとで、デフォルト直前の過程 Sτ– が G-局所マルティンゲールデフレーターをもつのはどのような場合かを特定すること。
• アゼマのデフォルト時刻 τ のスーパーマルティンゲール Z を用いて、Sτ– に対する明示的な G-局所マルティンゲールデフレーターを構成すること。特に、Z の乗法的分解 Z = LD を通じて行う。
• Z の最初のゼロ時刻 ζ が、η, 9η, :η に分解される際、その構造がデフレーターの行動に与える影響を明確にすること。
• 市場情報 G とデフォルト時刻 τ から、[0, τ) で G と一致する部分フィルトレーション F を回復する方法を提供すること。

提案手法

• F ⊂ G である二つのフィルトレーションの設定を導入する。G はデフォルト時刻 τ 以降でのみ F と異なる。Assumption 2.1 により、F と G は [0, τ) で一致する。
• アゼマのスーパーマルティンゲール Z に対して、ドゥーブ＝マイヤー分解 Z = m + a と、[17] からの予測可能乗法的分解 Z = LD を用いる。
• Lemma 3.9 で、D = Z₀Exp(–1/Z⁻ ₒ a) という新しい公式を確立し、Z = LD の乗法的分解を全時刻軸へ拡張するとともに、das が {L⁻ = 0} 上に質量をもたないことを保証する。
• Section 6 で還元技術を適用し、特に Lemma 6.6 を通じて、[0, τ) 上に存在する G-局所マルティンゲールをその F-還元によって特徴付ける。
• Sτ– に対する G-局所マルティンゲールデフレーターを、F-局所マルティンゲールデフレーターと因子 Mτ– / Lτ– の積として構成する。ここで M は S に依存する過程である。
• ジェリラン＝ヨールの公式と、条件付き期待値から導かれるフィルトレーションを用いて、G₀ と τ から F₀ を検出する。特に、厳密密度仮説またはコックス時間仮説の下で検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S が F-局所マルティンゲールデフレーターを持つと仮定したもとで、Sτ– が G-局所マルティンゲールデフレーターをもつのはどのような条件下か？
• RQ2 アゼマのスーパーマルティンゲールの乗法的分解 Z = LD を、全時刻軸へ拡張する方法は何か？ その際、das が {L⁻ = 0} 上に質量をもたないという条件を保つにはどうすればよいか？
• RQ3 Z の最初のゼロ時刻 ζ が果たす役割は何か？ その成分 η, 9η, :η は、Sτ– に対する G-局所マルティンゲールデフレーターの存在と構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 G-デフレーターが F-デフレーターを L で割ったものに比例するという予想を、正式に確認できるか？ その条件は何か？
• RQ5 特に厳密密度仮説またはコックス時間仮説の下で、市場フィルトレーション G とデフォルト時刻 τ から、部分フィルトレーション F₀ をどのように回復できるか？

主な発見

• Theorem 7.10 は、Sτ– に対する G-局所マルティンゲールデフレーターの存在に必要な十分条件を、アゼマのスーパーマルティンゲールの挙動とその分解に基づいて提供する。
• Lemma 3.9 は、D = Z₀Exp(–1/Z⁻ ₒ a) という公式を確立し、Z = LD の乗法的分解を全時刻軸へ拡張するとともに、{L⁻ = 0} 上に das が質量をもたないことを保証する。
• Sτ– に対する G-局所マルティンゲールデフレーターは、F-局所マルティンゲールデフレーターと Mτ– / Lτ– の積として構成され、乗法的予想を確認する。
• Lemma 6.6 の還元結果により、[0, τ) 上に存在する G-局所マルティンゲールはその F-還元によって特徴付けられ、デフレーター構成の基盤をなす。
• 厳密密度仮説（Hypothesis 9.10）の下では、τ の分布は密度関数によって決定され、F₀₈ 上で K(t) は Q に密度 ppt,·)/EQ[ppt,·)] で等価である。
• コックス時間の例（Hypothesis 9.11）では、das がルベーグ測度に対して特異な場合、F₀₈ 上で τ の条件付き分布は絶対連続でなく、K(t) は Q に支配されない。これは、厳密密度仮説がフレームワークの成立に必要ではないことを示している。