[論文レビュー] Localisation in the Bouchaud-Anderson Model

Stephen Muirhead, Richard Pymar|BIROn (Birkbeck, University of London)|Nov 14, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、放物型アンダーソンモデル（PAM）とブーショ・トラップモデル（BTM）のハイブリッド版であるブーショ＝アンドリューソンモデルを導入し、$π^d$ 上のランダムウォークにおける、確率的分岐とトラップ機構がどのように同時に局在化を引き起こすかを研究する。本稿では、これらの機構が互いに局在化を強化することを証明し、主固有関数が支配的サイトから離れるに従い指数関数的に減衰することを示し、確率的場に「フィットで安定した」相関関係が存在することを確認することで、間欠的現象および質量の極端な集中を裏付ける。

ABSTRACT

It is well-known that both branching random walk models and trap models can exhibit intermittency and localisation phenomena; the prototypical examples being the parabolic Anderson and Bouchaud trap models respectively. Our aim is to investigate how these localisation phenomena interact. To do so, we study a hybrid model combining the dynamics of both the parabolic Anderson and the Bouchaud trap models; more precisely, we consider a variant of the parabolic Anderson model in which the underlying random walk driving the model is replaced with the Bouchaud trap model. In this initial study, we consider the model where the potential field distribution has Weibull tail decay and the trap distribution is bounded away from zero. In dimension one, we further assume that the trap distribution decays sufficiently fast. Under these conditions, we show that the localisation effects in the hybrid model are strongly dominated by the influence of the parabolic Anderson model; the Bouchaud trap model plays at most a minor role. Moreover, we distinguish regimes in which the Bouchaud trap model acts to strengthen or weaken the localisation effects due to the parabolic Anderson model, and also identify regimes in which the Bouchaud trap model has no influence at all on localisation in the hybrid model.

研究の動機と目的

• 放物型アンダーソンモデル（PAM）とブーショ・トラップモデル（BTM）における局在化機構の相互作用を調査すること。
• PAMにおける確率的分岐とBTMにおける確率的トラップが、$π^d$ 上の連続時間ランダムウォークの長時間挙動にどのように影響するかを分析すること。
• 分岐とトラップの両方の効果が重なった場合に、解が単一のサイトに局在する条件を確立すること。
• ハイブリッドダイナミクスによって誘導される確率的場における相関関係を証明することで、集団動態における「フィットで安定した」仮説を数学的に裏付けること。

提案手法

• PAMのラプラシアンとBTMのトラップ生成子を組み合わせた生成子 $(Δ\sigma^{-1} + \xi)$ を用いて、$π^d$ 上の初期値問題としてBouchaud-Andersonモデルを形式化する。
• Feynman-Kac表現を用いて、解を分岐・トラップを伴うランダムウォーク系における粒子数の期待値として解釈する。
• 尾部挙動と局在化を制御するための重要な事象 $τ_{t,c}$ と $Θ^d_t$ を定義し、これらの事象が成立する下でほとんど確実な収束を保証する。
• カップリング技法とモーメントバウンドを用いて、主固有関数 $v_t(y)$ を制御し、到達時間と脱出確率の推定値を活用する。
• Lemma 7.4 と Corollary 4.4 を活用して、$\kappa^{2(n+m)}\sigma(Z_t)v_t^P(y)$ のバウンドを用い、$Z_t$ から離れるに従い $v_t(y)$ が指数関数的に減衰することを確立する。
• Proposition 3.14 と $\|v_t\|_{\ell_2}^2$ の収束結果を用いて、質量が $Z_t$ に集中することを示し、Theorem 1.7 を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型アンダーソンモデルとブーショ・トラップモデルの局在化機構がハイブリッド系でどのように相互作用するか。
• RQ2 確率的分岐とトラップの両方が存在する場合、単独のモデルと比較して、局在化が強化されるか。
• RQ3 集団動態における「フィットで安定した」仮説は、ハイブリッドモデルの確率的場における相関関係を通じて数学的に正当化可能か。
• RQ4 Bouchaud-Andersonモデルにおいて、局在化サイトから離れるに従い、主固有関数の漸近的減衰率はどのようになるか。
• RQ5 時間 $t \to \infty$ のとき、Bouchaud-Andersonモデルの解がほとんど確実に単一のサイトに集中する条件は何か。

主な発見

• Bouchaud-Andersonモデルにおける分岐とトラップの局在化効果は、互いに強め合い、単独のモデルよりも質量の集中が顕著になる。
• 主固有関数 $v_t(y)$ は支配的サイト $Z_t$ から離れるに従い指数関数的に減衰し、$t \to \infty$ のとき、ある $C > 0$ に対して almost surely に $\log v_t(y) + \log \sigma(Z_t) \leq -C|y - Z_t|\log\log t$ が成り立つ。
• $\mathcal{E}_{t,c}$ の事象上では、$v_t$ の $\ell_2$-ノルムが $Z_t$ に集中し、$\|v_t\|_{\ell_2}^2 \to 1$ かつ $\sigma(Z_t)\sum_{z \neq Z_t} v_t(z)^2 \to 0$ が almost surely 成り立つ。
• Bouchaud-Andersonモデルの解 $u_1(t,z)$ は、$\frac{1}{U(t)}\sum_{z \neq Z_t} u_1(t,z) \to 0$ を almost surely 満たし、質量が $Z_t$ に漸近的に局在化していることを確認する。
• $\mathcal{E}_{t,c}$ と $\Theta^d_t$ の事象は、極めて高い確率で成立し、局在化結果が長時間にわたり強く保たれ、ほとんど確実であることを保証する。